- •Введение
- •I. Методические указания к ответам на теоретические вопросы
- •§1. Этапы научного исследования. Роль и место вычислительного эксперимента и численных методов
- •§2. Основные понятия теории погрешностей. Общая формула вычисления погрешности
- •§3. Метод Ньютона решения алгебраических и трансцендентных уравнений
- •§4. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •§5. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений и его модификации
- •§6. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений
- •§7. Алгебраическое интерполирование. Исследование существования и единственности интерполяционного полинома
- •§8. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •§9. Численное интерполирование. Полином Ньютона
- •§10. Численное интегрирование. Формулы Ньютона-Котеса. Оценка погрешности квадратурных формул
- •§11. Классификация и общая характеристика методов решения дифференциальных уравнений. Хорошо и плохо обусловленные задачи
- •§12. Метод Эйлера. Алгоритм и оценка погрешности
- •§13. Метод Рунге-Кутта. Алгоритм и оценка погрешности
- •§14. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •§15. Идея метода сеток решения уравнений в частных производных
- •§16. Аппроксимация дифференциального уравнения разностным и ее порядок. Устойчивость. Сходимость
- •§17. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа
- •II. Методические указания к решению задач
- •Список рекомендуемой литературы
§8. Интерполяционный полином Лагранжа.
Оценка остаточного члена
При изложении ответа на этот вопрос следует дать математическую постановку задачи интерполяции (см §7), получить интерполяционный полином Лагранжа, записать его в различных обозначениях и вывести оценку остаточного члена интерполяционного полинома n-ной степени.
Построение интерполяционного полинома путем решения системы (14) не всегда удобно на практике, так как решение системы уравнений может быть связано с определенными трудностями; кроме того, всегда удобнее иметь явные зависимости коэффициентов интерполяционного полинома от исходных данных. Пусть - узлы интерполяции, i=0,1,…,n - заданные значения функции в этих узлах. Искомый полином будем искать его в виде ,где - полиномы n-й степени, удовлетворяющие следующему условию:
(15)
Положим , при этом удовлетворяет второму из условий (7). Коэффициент ci подберем так, чтобы полином удовлетворял первому из условий (15):
.
Тогда интерполяционный полином Лагранжа принимает вид:
. (16)
Введем обозначение: . Тогда полином Лагранжа можно записать в виде
. (17)
Погрешность интерполяционного полинома . В узлах интерполяции , в остальных точках эта функция отлична от нуля. Для получения формулы оценки погрешности предположим, что функция n+1 раз непрерывно дифференцируема, и рассмотрим функцию
(18)
Эта функция имеет n+1 корень в узлах интерполяции, подберем коэффициент k так, чтобы в некоторой точке функция u(x) имела n+2 корень:
. (19)
Предположим, что точка при некотором i (0<i<n). Тогда функция принимает нулевые значения на концах каждого из (n+1) интервала [ ], [ ],…,[ ],[ ],…,[ ]. Поэтому согласно теореме Ролля первая производная имеет по крайней мере n+1 корень, вторая производная - по крайней мере n корней и, наконец, (n+1)-я производная имеет по крайней мере один корень. Обозначим этот корень через ξ: . Продифференцируем выражение (18) (n+1) раз: и, подставив , получим
Отсюда
(20)
Приравнивая правые части равенств (19) и (20), получим
.
Учитывая, что - произвольная точка, получим окончательно
, где
§9. Численное интерполирование. Полином Ньютона
При изложении ответа на этот вопрос следует дать математическую постановку задачи интерполяции (см §7), ввести понятие конечной разности, получить первую и вторую формы полинома Ньютона, обосновать их применение.
Интерполяционный полином Ньютона применяется в том случае, когда таблица функции задается с постоянным шагом. Пусть - узлы, , - заданные значения ( ). При построении полинома Ньютона используются конечные разности. Конечной разностью первого порядка называется величина , конечной разностью k-го порядка называется величина .
Интерполяционный полином Ньютона будем искать в виде , где a0, a1, …, an - коэффициенты, которые требуется определить. Используем для этого определение интерполяционного полинома. Так как , то . Далее . Поэтому . Продолжая таким образом, получаем , и полином Ньютона имеет вид
(21)
Для некоторых функций f(x) конечные разности с ростом их порядка уменьшаются по абсолютной величине, так что начиная с некоторого номера k, слагаемые в формуле (21) можно не учитывать. В результате уменьшается степень полинома и сокращается объем необходимых вычислений, однако при этом используется не вся заданная таблица. В этом случае применять формулу (21) можно лишь для вычисления значений функции ближе к началу заданной таблицы, т.е. для используемой части таблицы. Для интерполирования вблизи конца таблицы применяется вторая форма полинома Ньютона: