§14. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

При изложении ответа на этот вопрос следует дать определение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, изложить метод конечных разностей на примере решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка, обосновать существование решения разностной задачи и его сходимость к точному.

Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения – это задача отыскания частного решения этого уравнения на отрезке [a,b], в которой дополнительные условия накладываются на значения искомой функции более чем в одной точке этого отрезка. Очевидно, что поставить краевую задачу возможно для уравнения порядка не ниже второго. Точное решение удается найти крайне редко. Одним из наиболее употребительных на практике численным методом решения краевых задач является метод конечных разностей. Рассмотрим этот метод на примере решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка

, (38)

с краевыми условиями (39)

где p(x), q(x) и F(x) – заданные функции ( ) на отрезке [a,b], Y₁, Y₂ – заданные числа.

Выберем на отрезке [a,b] сетку x_n с постоянным шагом h, введем обозначения f_i=f(x_i) и разложим искомую функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x_i с сохранением слагаемых порядка не выше h²

(40)

(41)

Вычитая из соотношения (40) соотношение (41), получим ,

а складывая соотношения (40) и (41), получим

Подставим эти соотношения в уравнение (38):

или , (42)

где , , , .

Запишем алгебраические уравнения вида (42) в каждой точке x_i, i=1, 2,…, n-1 рассматриваемой сетки. В результате получим систему n-1 линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными y₀, y₁, … y_n. Недостающие два уравнения можно получить, используя краевые условия:

y₀=Y₁, y_n=Y₂. (43)

Решая систему линейных алгебраических уравнений (42)-(43), найдем приближенное решение краевой задачи (38)-(39).

При таком подходе необходимо ответить на три вопроса:

1. Существует ли решение алгебраической системы типа (42)-(43)?

2. Как найти такое решение?

3. Сходится ли разностное решение к точному при ?

Существование. В системе (42) , при . Таким образом, система имеет свойство диагонального преобладания. При этом ее решение существует и единственно.

Способ решения. Система (42)-(43) является трехдиагональной. Для решения таких систем разработан специальный метод прогонки.

Сходимость. Можно доказать, что при достаточно гладких и ограниченных коэффициентах уравнения (38) погрешность разностной схемы имеет порядок .

§15. Идея метода сеток решения уравнений в частных производных

При изложении ответа на этот вопрос следует дать постановку краевой задачи для дифференциального уравнения, дать понятия сетки, разностной аппроксимации производных, входящих в уравнение, разностной схемы, показать, что решение краевой задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, дать определения аппроксимации, устойчивости и сходимости.

Пусть имеется область G(x) с границей Γ и дифференциальное уравнение, записанное в операторной форме:

, (44)

где A – некоторый дифференциальный оператор, f(x) – заданная в области G функция, u(x) – искомая функция.

Краевое условие запишем в виде

, (45)

где R – некоторый, в общем случае дифференциальный, оператор, μ(x) – функция, заданная на границе Γ.

Рассмотрим краевую задачу (44)-(45). Для применения разностного метода непрерывную область изменения переменных заменяют дискретным конечным множеством точек, называемом сеткой. Отдельные точки, составляющие сетку, называют узлами сетки. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют определенными алгебраическими комбинациями значений функции u(x) в узлах сетки. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой. Решая полученную алгебраическую систему, находят приближенное (разностное) решение в узлах сетки. При этом следует ответить на следующие вопросы.

1). Как выбрать сетку?

2). Как составить разностную схему на этой сетке?

3). Существует ли решение алгебраической системы и, если существует, единственно ли оно?

4). Как это решение фактически и эффективно вычислить?

5). При каких условиях разностное решение стремится к точному и какова скорость сходимости?

Кратко на эти вопросы можно ответить следующим образом.

1). Сетка выбирается в зависимости от формы области и системы координат, в которой записано уравнение, так, чтобы учесть особенности решения и граничные условия. Сетки могут быть квадратные, прямоугольные, косоугольные, криволинейные, с постоянным и переменным шагом.

2). Существуют различные методы составления разностных схем, например, метод разностной аппроксимации, неопределенных коэффициентов.

3). Вопросы существования и единственности решения разностных уравнений исследуются отдельно в каждом конкретном случае в зависимости от особенностей постановки задачи.

4). Алгоритмы решения разностных уравнений разрабатываются в зависимости от вида разностной схемы. Так, если для решения данной задачи применяется явная схема, то вычисление значений искомой функции происходит по явным формулам, а если неявная – приходится решать систему алгебраических уравнений. Вопрос эффективности выбранного метода решения часто требует отдельного исследования.

5). Исследование вопроса сходимости разностного решения к точному тесно связано с аппроксимацией и устойчивостью разностной схемы. Известна теорема, которую кратко можно сформулировать так: из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.