§12. Метод Эйлера. Алгоритм и оценка погрешности

При изложении ответа на этот вопрос следует дать постановку задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка при численном решении, получить вычислительную схему метода Эйлера и его геометрическую интерпретацию, дать оценку погрешности и показать, что задачу Коши для уравнения любого порядка можно свести к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, а алгоритмы решения систем получаются из алгоритма решения одного уравнения формальной заменой скалярных величин на векторные.

Пусть дано дифференциальное уравнение

. (26)

Функция задана и непрерывна в некоторой области D вещественной плоскости. В области D требуется найти решение дифференциального уравнения (26), проходящее через заданную начальную точку

(27)

При численном решении уравнения (26)-(27) задача ставится так: в точках нужно найти приближения для значений точного решения уравнения (26) при начальном условии (27). Разность называется шагом сетки. Во многих случаях можно считать, что h>0 – постоянная, не зависящая от номера n.

Многие приближенные методы опираются на уравнение

, (28)

которое получается интегрированием уравнения (26) на отрезке ; при этом интеграл в правой части (28) заменяется тем или иным приближенным выражением. В методе Эйлера он заменяется простейшим образом – произведением значения подынтегральной функции на шаг h (по формуле левых прямоугольников):

, (29)

Для оценки погрешности метода Эйлера предположим, что 1) функция в области D ограничена

, (31)

2) удовлетворяет условию Липшица по переменной y, т.е. существует такая постоянная K, что для любой пары точек с координатами и , лежащих в области D, имеет место неравенство

. (32)

3) функция в области D имеет ограниченную производную

. (33)

Назовем абсолютной погрешностью приближенного решения y_n величину . Тогда можно показать, что для абсолютной погрешности имеет место следующая оценка

. (34)

Таким образом, при и выполнении условий (31)-(33) приближенное решение сходится к точному равномерно (в области D) с первым порядком точности.

§13. Метод Рунге-Кутта. Алгоритм и оценка погрешности

При изложении ответа следует дать определение s-стадийного метода Рунге-Кутта, его порядка, записать алгоритм классического метода Рунге-Кутта и применить принцип Рунге для оценки его погрешности.

Рассмотрим метод Рунге-Кутта на примере задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дана задача (26)-(27). Требуется определить приближенные значения y в точке , где h –шаг сетки.

Определение 1. Пусть s – положительное целое число (число стадий или этапов) и - вещественные коэффициенты. Тогда для задачи (26)-(27) метод

(35)

называется s-стадийным (s-этапным) явным методом Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта позволяет строить схемы различного порядка точности. Эти схемы очень удобны для программирования. В настоящее время они являются наиболее употребительными в практических вычислениях.

Определение 2. Метод Рунге-Кутта (35) имеет порядок p, если для достаточно гладких задач (26)-(27)

Рассмотрим в качестве примера без вывода 4-стадийный метод, имеющий порядок p=4, называемый классическим методом Рунге-Кутта. Выберем шаг h и введем обозначения: и . Тогда классический метод Рунге-Кутта имеет вид

Эффективная оценка погрешности метода Рунге-Кутта затруднительна. Если число p определено, то для грубой оценки погрешности метода можно использовать так называемый принцип Рунге или метод двойного счета.

Пусть известно, что на каждом шаге допущена погрешность, приблизительно пропорциональная ( ), и 2m представляет собой общее число шагов вычисления. В таком случае, предполагая, что погрешность на каждом шаге одна и та же, приближенно получим

, (36)

где - значение точного, а - приближенного решения в точке , A – неизвестный числовой множитель.

Согласно Рунге, производим тем же методом вторичный пересчет искомого решения y с двойным шагом H=2h. Тогда в силу нашего предположения будет допущена погрешность

(37)

где - значение искомой функции в точке , вычисленное с шагом H=2h.

Из формул (36) и (37) получаем . Отсюда находим неизвестную постоянную

и, следовательно,

Таким образом, приближенно можно положить ,

где - погрешность вычислений приближенного значения .

Применив принцип Рунге для оценки погрешности классического метода Рунге-Кутта с p=4, получим

.

Схемы Рунге-Кутта имеют ряд важных достоинств:

1. Все они имеют хорошую точность.

2. Они являются явными, т.е. значение y_n+1 вычисляется по ранее найденным значениям за определенное число действий по определенным формулам.

3. Все схемы допускают расчет с переменным шагом; значит, нетрудно уменьшить шаг там, где функция быстро меняется.

4. Все схемы являются одношаговыми: для начала расчета достаточно выбрать сетку { } и задать значение ; далее вычисления идут по одним и тем же формулам.