§17. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа

При изложении ответа на этот вопрос следует дать постановку задачи Дирихле для уравнения Лапласа и на примере решения этой задачи продемонстрировать метод сеток.

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа:

(51)

Пусть требуется найти решение уравнения (51) в заданной области G с границей Γ, причем

(52)

где φ(x,y) – заданная непрерывная функция на Γ.

Для отыскания приближенного численного решения этой задачи проведем два семейства параллельных прямых

.

Точки пересечения этих прямых назовем узлами сетки, величины h и l называются шагами сетки в направлениях x и y соответственно.

Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении x или y на расстояние, не превышающее шага сетки. Узлы, у которых все четыре соседних принадлежат множеству , называются внутренними. Множество внутренних узлов называется сеточной областью . Те узлы, у которых хотя бы один соседний не принадлежит множеству , называются граничными, а их совокупность – границей сеточной области.

Для каждого внутреннего узла (i,j) сеточной области составим разностное уравнение, заменив в точке (x₀+ih, y₀+jl) производные, входящие в уравнение (51) разностными отношениями:

, ,

, .

Тогда разностное уравнение приобретает вид:

,

а при h=l:

. (53)

Такие уравнения можно записать для каждого внутреннего узла. В результате получается система линейных алгебраических уравнений с неизвестными значениями функции u_ij в узлах сетки. При этом число уравнений меньше числа неизвестных. Для замыкания этой системы используются граничные условия. Простейшим способом аппроксимации граничных условий является следующий. Если узел (i,j) является граничным, то u_ij в этой точке положим равным значению функции φ в точке границы Γ, ближайшей к этому узлу. Таким образом, для отыскания значений искомой функции u во внутренних узлах сетки получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Если эта система разрешима, то, решив ее, получим приближенные значения искомого решения на конечном множестве точек, являющихся внутренними узлами. Полученная система линейных алгебраических уравнений называется разностной схемой, аппроксимирующей краевую задачу (51)-(52).

Сразу же возникают следующие вопросы.

1). Разрешима ли полученная система разностных уравнений и, если разрешима, то какими способами она может быть решена?

2). Насколько близки будут полученные при этом значения к значениям точного решения задачи Дирихле в соответствующих точках?

3). Можно ли, неограниченно сгущая сетку, получить решение, сколь угодно близкое к точному решению задачи Дирихле, т.е. вопрос о сходимости метода сеток.

На эти вопросы кратко можно ответить так.

Уравнения (53) можно переписать в форме

Норма матрицы равна единице, несмотря на это итерационный процесс

сходится, но сходимость очень медленная. Поэтому для решения поставленной задачи применяется другой итерационный процесс:

,

где m – ускоряющий множитель, он находится экспериментально, . Построенная схема имеет второй порядок аппроксимации относительно шага сетки, т.е. ее погрешность R_ij=O(h²).