6.3.3Анализаторы спектра на цифровом фильтре

Бурное развитие вычислительной техники позволило создать анализаторы спектра на цифровом фильтре в низкочастотном диапазоне. Появление вычислительных устройств с высоким быстродействием и те преимущества, которые дает цифровая фильтрация, создают уверенность, что анализаторы спектра на цифровом фильтре заменят в ряде диапазонов частот анализаторы других типов.

Рис. 5.24. Обобщенные схемы двухполюсного цифрового фильтра (а) и анализатора спектра, построенного на таких фильтрах (б)

Частотная характеристика и стабильность в отношении дрейфа цифрового фильтра более точно определены и лучше, чем соответствующие параметры эквивалентного аналогового фильтра. Цифровой фильтр не нуждается в подстройке, компенсирующей неточности из-за старения компонентов, и его универсальность намного больше аналогового фильтра. Однако главным преимуществом цифровой фильтрации является упрощение применения высокоточных цифровых детектора и устройства усреднения. Цифровой детектор измеряет истинное среднеквадратическое значение анализируемого сигнала без ограничений, связанных с его пик-фактором. Следовательно, рабочий диапазон ограничивается лишь нормальными пределами общего динамического диапазона и временем реакции фильтра (5.21). Цифровое устройство усреднения, обеспечивающее усреднение по линейному и показательному законам, отличается универсальностью, недостижимой для аналоговых усредняющих устройств.

На рис. 5.14 приведена обобщенная схема двухполюсного цифрового фильтра. Этот фильтр относится к группе рекурсивных, т.е. к фильтрам, обратная связь которых гарантирует выходной сигнал фильтра в определенный момент времени в форме явной функции предшествующих этому моменту входных и выходных сигналов. Характеристики такого фильтра, т.е. форма его частотной кривой, относительная ширина полос пропускания и конфигурация — фильтр нижних частот, фильтр верхних частот, полосовой фильтр или полосно-заграждающий фильтр, зависят от коэффициентов умножительных устройств А_о, А₁, А₂ В₁ и В₂. Рабочий частотный диапазон фильтра (ω₀) определяется задержкой Z^-1. Задержка Z^-1 идентична элементарному интервалу выборки при предположении мгновенного выполнения операций сложения и умножения. Следовательно, рабочий частотный диапазон фильтра можно регулировать путем регулирования интервала выборки; например, увеличение интервала выборки вдвое (т.е. сокращение на половину частоты выборки) приводит к сдвигу рабочего частотного диапазона фильтра на октаву ниже при сохранении его относительной ширины полосы пропускания. Свойства и параметры цифрового фильтра, относящиеся к времени установления, сдвигу фазы и др., практически идентичны соответствующим характеристикам эквивалентного аналогового фильтра.

Пользуясь соответствующими Z-преобразованию обозначениями, передаточную функцию цифрового фильтра из рис. 5.14 можно определить выражением

H(Z) = Н₀(А₀ + A₁Z^-1 + A₂Z^-2)/(1-B₁Z^-1 -B₂Z^-2), (5.31)

где Z-преобразование является дискретным преобразованием Лапласа, в котором оператор Z^-1 заменяет оператор Лапласа S. Эти два оператора можно взаимно преобразовать:

Z^-1 = е^-St (5.32)

Время, затрачиваемое реальными цифровыми фильтрами в процессе умножения, играет существенную роль при сравнении с интервалом выборки Z^-1 . Следовательно, время задержки выбирается так, чтобы оно вместе с временем умножения равнялось интервалу выборки. На вход цифрового фильтра подается последовательность дискретных данных, представляющая временную функцию анализируемого сигнала. На выходе фильтра с передаточной функцией (5.31) получаем спектральную функцию аналогично (5.15) с использованием передаточной функции (5.13).

На цифровом фильтре можно строить анализаторы спектра и параллельного, и последовательного типа, принцип работы которых и характеристики приведены выше.

Анализаторы спектра псевдопараллельного действия или анализаторы реального времени со сжатием временного масштаба

Анализаторы спектра псевдопараллельного действия состоят как из цифровых, так и из аналоговых частей и основаны на сжатии временного масштаба.

Одним из преимуществ одновременного (параллельного) анализа по сравнению с последовательным является минимальное время анализа. Сокращение времени анализа до минимального с одновременным использованием преимуществ последовательного анализа (простота и надежность схемы, высокая избирательность) является одной из главных задач квазиодновременного анализа.

Для заданной полосы пропускания Δf с нестабильностью µ<<1 (что определяет точность приводимой в дальнейшем формулы) и полосы анализа F минимальное необходимое время анализа определяется выражением

T_{a min} = 2F/πµ(Δf)² (5.33)

Применяя данное выражение, необходимо учитывать также следующие обстоятельства. При воздействии на анализатор случайных или почти периодических процессов сигнал на выходе анализатора будет флуктуировать с интервалом корреляции τ_к, где τ_к 1/ Δf.

В зависимости от требуемой точности δ спектрального анализа будет определяться время измерения Т_изм, необходимое для дополнительного усреднения.

В анализаторах спектра с характеристикой избирательности, имеющей малый коэффициент прямоугольности Кь, на уровне b, переходные процессы, возникающие при перестройке анализатора, определяются не полосой пропускания Δf, а крутизной спада характеристики или эквивалентной им полосой пропускания Δf '.

Для сокращения времени анализа до минимального применяются различные схемы построения анализаторов. В частности, применяется схема анализатора с комбинацией последовательного и одновременного методов анализа, когда на выходе гетеродинного анализатора включен не полосовой фильтр, а гребенка отстоящих друг от друга на полосу пропускания фильтров, подключаемых поочередно через коммутатор к индикаторному устройству. Наиболее эффективным способом сокращения времени анализа низкочастотных процессов является транспонирование спектра из инфразвукового и звукового диапазонов в диапазон высоких частот, обеспеченный широкой номенклатурой анализаторов последовательного типа.

При транспонировании (умножении) спектра оператор преобразования М выполняет мультипликативное смещение с коэффициентом транспонирования К_т:

MS(ω) = S(K_Tω). (5.34)

В зависимости от значения К_т будет происходить сжатие (К_т< 1) или расширение (К_т> 1) спектра.

Процесс транспонирования можно рассмотреть также с точки зрения изменения временного масштаба, поскольку зависимости ω' = К_тω соответствует зависимость

t' = K_ct (5.35)

где К_с — коэффициент. сжатия масштаба времени. Наглядно сжатие временного масштаба показано на рис. 5.15. На рисунке показан гармонический сигнал до транспонирования (рис. 5.15, а) и после транспонирования (рис. 5.15,б). При этом коэффициент сжатия временного масштаба К_с — Т'/Т, а коэффициент транспонирования (увеличение частоты) К_т = Т/Т'.

Рис. 5.25. Временные графики гармонического сигнала и его сжатой копии

На практике осуществляется транспонирование спектра какой-либо конечной реализации процесса, а не всего процесса в целом, что приводит к определенным погрешностям анализа.

В зависимости от диапазона частот транспонируемых сигналов, значения коэффициента транспонирования и метрологических требований, предъявляемых к преобразованию, применяются различные способы транспонирования, краткое рассмотрение которых приводится ниже.

Простым и давно известным способом транспонирования является запись и воспроизведение исследуемого процесса с различными скоростями v_зап и v_вос соответственно. Коэффициент транспонирования при этом равен отношению скоростей записи и воспроизведения К_т = v_вос/ v_зап

Более перспективным является способ транспонирования, использующий временную декорреляцию исследуемого сигнала.

Этот способ заключается в том, что из исследуемого сигнала Δf берутся выборки с длительностью т и периодом следования Т_н, определяемым по теореме Котельникова, и затем производится сжатие периода следования выборок до Т_в (в некоторых случаях целесообразно уменьшать и длительность выборки τ). Через коэффициент сжатия временного масштаба К_сж = T_ВIT_Н можно определить коэффициент транспонирования К_т=1/К_сж.

В соответствии с теоремой Котельникова функция f(t) с ограниченным спектром (высшая граничная частота f_в) на произвольном конечном промежутке (—Т/2, Т/2), где Т может быть временем реализации, представляется рядом с конечным числом слагаемых п:

(5.36)

Число слагаемых п определяется из условия

2πn/T = 2πf_в; n = f_вТ

Если учесть, что каждая спектральная составляющая обладает двумя степенями свободы (определяется амплитудой и фазой) всего на интервале Т, необходимо и достаточно m = 2п + 1 выборок, т.е. период следования выборок Δt определяется по формуле

Δt = Т/т ≈ 1/2f_в. (5.37)

Период следования выборок Δt целесообразно уменьшать при транспонировании до значения порядка длительности выборки τ.

В реальных устройствах К_Тmax порядка 10⁵

Теория временного сжатия сигнала в рециркуляторе подробно изложена в специальной литературе. В качестве иллюстрации рассмотрим функциональную схему устройства транспонирования, содержащую как рециркулятор, так и буферный накопитель (рис. 5.16).

Рис. 5.26. Структурная схема устройства транспонирования

На вход устройства поступают выборки с интервалом Δt = 1/2 f_в и длительностью τ, удовлетворяющей неискаженному прохождению импульсов через линию задержки в рециркуляторе.

Временем задержки t_ЗД определяются максимальное количество циркулирующих импульсов m и, следовательно, коэффициент транспонирования К_т = т:

t_ЗД = Δt(1-1/т) (5.38)

Длительность выборки должна быть τ << Δt/2т. В течение времени реализации Т_р = mΔt в первом рециркуляторе накапливается m выборок, в следующий такт работы переключателя П₁ самая ранняя выборка исчезает, так как для нее цепь обратной связи разрывается и принимается новая выборка.

Анализатор последовательного типа может включаться на выходе первого рециркулятора, однако устройство транспонирования будет несколько совершеннее, если на выходе первого рециркулятора включить второй рециркулятор (буферный накопитель) с временем задержки Δt;. Тогда на выходе второго рециркулятора в течение времени Δt происходит циркуляция сжатой копии одной конечной реализации сигнала за время Т_р, в то время как в первом рециркуляторе копия обнаруживается через Δt. Основной трудностью разработки транспонирующих устройств на рециркуляторах является отсутствие линии задержки на большие времена. Поэтому в настоящее время вместо рециркуляторов с линией задержки используют цифровой блок памяти. Запись в блок памяти идет в темпе поступления информации, а считывание — с предельной скоростью, обеспечивающейся быстродействием цифровых схем памяти.