Закони статистичного розподілу для систем багатьох частинок

1. Залежність функції розподілу від енергії системи.

2. Мікроканонічний розподіл.

3. Канонічний розподіл Гіббса.

4. Великий канонічний розподіл Гіббса.

5. Квантові статистики.

1. Залежність функції розподілу від енергії системи.

Раніше було показано, що мікроскопічний стан фізичної системи визначається положенням зображаючої точки у фазовому просторі (класичний підхід) або набором квантових чисел всіх мікрочастинок (квантово-механічний підхід). з часом система переходить з одного мікростану до іншого, а отже, змінюється положення зображаючої точки (або набір квантових чисел).

Статистичні закономірності в системі проявляються, перш за все, в тому, що мають місце різні ймовірності різних мікростанів, а разом з ними різні ймовірності для значень макроскопічних фізичних величин системи в різні моменти часу.

Введемо поняття статистичного ансамблю систем. Членами цього ансамблю будуть копії системи, що відповідають всім можливим її мікростанам.

Відповідно до основного постулату статистичної фізики будемо вважати, що закон розподілу імовірностей для ансамблю систем буде таким же, як і для розподілу станів однієї системи за часом.

Позначимо через N_i число систем в і-тому квантовому стані, а через N число членів ансамблю. Тоді ймовірність виявити систему в і-тому стані буде дорівнювати

(1)

Класичним аналогом виразу (1) є співвідношення

, (2)

де – число членів статистичного ансамблю, фазові координати яких знаходяться в межах від q до q+dq і від p до p+dp, або в об’ємі dГ поблизу точки (q, p); f(q, p) – густина імовірності.

Цей вираз дозволяє обчислити імовірність того, що зображаюча точка знаходиться в об’ємі dГ поблизу точки (q, p), тобто мікростан системи є одним з тих, які зображаються точками в об’ємі dГ поблизу точки (q, p).

Якщо ввести до розгляду густину фазових точок , то

(3)

Величина грає фундаментальну роль при статистичному описі системи, оскільки вона визначає розподіл імовірностей для класичної системи. Саме цю величину називають функцією статистичного розподілу (в термінах класичної фізики).

Існує декілька загальних положень, які зумовлюють вигляд функції розподілу _і або . Однак, перш ніж розглядати ці положення, зауважимо таку особливість статистичної фізики: статистичні закономірності майже не залежать від конкретних властивостей частинок системи і характеру їх взаємодії, зокрема від того, класичний чи квантовий характер має рух мікрочастинок.

При виводі розподілу Максвела ми не робили якихось припущень про характер взаємодії між молекулами, а лише припускали, що має місце молекулярний хаос: рівноправні всі положення і напрямки руху молекул. Вигляд статистичного розподілу, який ми одержали,

дозволяє зробити такий висновок: при молекулярному хаосі розподіл імовірностей станів молекули не залежить від її координат та імпульсів, але повністю визначається її кінетичною енергією.

На підставі аналогії між довільно квазінезалежною підсистемою і молекулою ідеального газу можна постулювати таке: розподіл імовірностей станів довільної квазінезалежної підсистеми залежить лише від її енергії, тобто

(4)

За допомогою відомої теореми Ліувілля можна показати, що цей результат вірний і в класичному випадку

(5)