Великий канонічний розподіл Гіббса.
Часто буває так, що взаємодія квазінезалежної системи з термостатом полягає в обміні енергією, і частинками. Знаходження статистичного розподілу в цьому випадку відрізняється від розглянутого раніше тим, що одночасно виконуються умови
,
,
тобто
число доступних станів залежить і від
числа частинок. Тоді імовірність
in
може бути представлена так:
in
.
Виконавши перетворення, подібні до попередніх, можна одержати розподіл у стандартному вигляді
in
(16)
де
-хімічний
потенціал у розрахунку на одну частинку.
.
(17)
in – імовірність знайти квазінезалежну систему в стані з енергією і вона буде мати при цьому n частинок.
Квантові статистики.
Раніше одержані розподіли імовірностей для квантовомеханічних систем (13) і (16). В цих виразах явно відображена дискретність рівнів енергії. Інші аспекти квантового опису приховані у загальному понятті числа станів системи. Зокрема, для розрахунку числа станів необхідно враховувати тотожність (нерозрізнимість) квантовомеханічних частинок. Сукупність частинок одного сорту з однією енергією необхідно приймати за один стан.
Квантові частинки поділяють, як відомо, на ферміони – частинки з напівцілим спіном, та бозони – частинки з нульовим або цілим спіном. Окрім силової взаємодії в системах, які складаються з однакових частинок, має місце своєрідний вплив їх одна на одну, пов’язаний з тотожністю (так званий “обмінний ефект”). Зокрема, принцип Паулі забороняє двом ферміонам одного і того ж сорту знаходитись в одному і тому ж квантовому стані. В системі однакових бозонів найменшою квазінезалежною підсистемою може бути лише сукупність всіх частинок, які знаходяться в одному і тому ж квантовому стані.
Розглянемо
квантовий ідеальний газ, який складається
з
тотожних частинок. Рівноважний стан
такого газу буде повністю заданим, якщо
для кожного його і
– того енергетичного стану вказати
число частинок
.
Розуміється, що мова йде про середнє
число
,
оскільки в умовах хаотичної взаємодії
атомів газу величина
весь час змінюється.
Для
обчислення
зручно використати великий канонічний
розподіл Гіббса (16), застосувавши його
до підсистеми – сукупності атомів, які
знаходяться в стані з енергією
.
Решта частинок газу
нехай утворює термостат. Енергія
розглядуваної квазінезалежної підсистеми
,
де
- енергія однієї частинки в і
– тому стані. Кожному набору з
атомів внаслідок тотожності частинок
відповідає один і лише один стан
підсистеми:
.
З сказаного випливає, що
(18)
Для обчислення скористаємось загальним правилом обчислення середніх:
(19)
або
,
де
.
Для
обчислення суми (19) необхідно знати, в
яких межах змінюється число частинок
у підсистемі
.
У випадку ферміонів
може мати значення від 0 до 1 і тоді
(20)
У
випадку бозонів число частинок у певному
енергетичному стані нічим не обмежено
.
Якщо N>>1,
то
(21)
Сума
сходиться лише тоді, коли х<1.
Оскільки
,то
для цього необхідно, щоб
.
Остання умова завжди виконується. Внесок
членів суми з великим
виявляється дуже малим. Тоді ряд в (20)
перетворюється в нескінченну геометричну
прогресію з початковим членом 1 та
знаменником х:
.
Звідси
(22)
Вирази (20) і (22) – це квантові статистики (розподіли) Фермі – Дірка і Бозе – Ейнштейна.
З М І С Т
Вступ.......................................................................... |
4 |
Розподіл Максвела – Больцмана............................. |
8 |
Мікроскопічний опис макроскопічних систем......................................................................... |
22 |
Закони статистичного розподілу для систем багатьох частинок..................................................... |
33 |
Навчальне видання
Грищенко Геннадій Опанасович
Основні поняття
статистичної фізики
Редакція автора
Друкарня Національного педагогічного університету імені М.П.Драгоманова