Г.О Грищенко

КУРС ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ

основні поняття

статистичної фізики

Київ – 2005

Національний педагогічний університет

імені М.П. Драгоманова

Г. Грищенко

КУРС ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ

основні поняття

статистичної фізики

Навчальний посібник для

студентів вищих навчальних закладів

Київ – 2005

Рекомендовано Вченою Радою Національного

педагогічного університету

імені М.П.Драгоманова

Рецензенти:

• доктор фізико-математичних наук, професор, член-

кореспондент АПН України М.І.Шут

• доктор педагогічних наук,

професор М.Т.Мартинюк

Грищенко Г.

Основні поняття статистичної фізики. Навч. посібник. – Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2005. – 44с.

Розглянуто основні поняття класичної і квантової статистики рівноважних станів.

Для студентів вищих навчальних закладів.

Вступ

Термодинаміка і статистична фізика вивчають фізичні процеси в макроскопічних системах, тобто в тілах, які складаються з величезного числа мікрочастинок (залежно від конкретного виду системи цими мікрочастинками можуть бути атоми, молекули, іони, електрони, фотони тощо).

Є два методи вивчення станів макроскопічних систем – термодинамічний і статистичний. Термодинамічний метод не спирається ні на які модельні уявлення про атомно-молекулярну будову речовини і є за своєю суттю методом феноменологічним. Це означає, що завданням термодинамічного методу є встановлення зв’язків між безпосередньо вимірюваними в макроскопічних дослідах величинами, такими як тиск, об’єм, температура, концентрація розчину, напруженість електричного або магнітного поля, світловий потік тощо. Навпаки, ніякі величини, пов’язані з атомно-молекулярною будовою речовини (розміри молекул, їх маси, кількість тощо), не входять до розгляду при термодинамічному підході до розв’язування задач.

На противагу цьому, статистичний метод вивчення властивостей макроскопічних тіл з самого початку ґрунтується на модельних атомно-молекулярних уявленнях, а основне завдання статистичної фізики можна сформулювати так: знаючи закони поведінки частинок макроскопічної системи (молекул, атомів, іонів, електронів, квантів тощо) встановити властивості і закони поведінки макроскопічної кількості речовини.

Із сказаного випливають і переваги, і недоліки як термодинамічного, так і статистичного підходів до вивчення фізичних явищ і процесів.

Термодинамічний метод, не будучи пов’язаний з модельними уявленнями, має дуже велику залежність, в той час як висновки статистичної фізики вірні настільки, наскільки вірні припущення щодо поведінки мікрочастинок системи.

Термодинамічний метод, окрім того, відрізняється, як правило великою простотою і дозволяє, після певних математичних процедур, розв’язати цілий ряд конкретних задач, не вимагаючи ніяких відомостей про властивості атомів або молекул. У цьому полягає його неоцінима перевага особливо для розв’язування задач технічного характеру (технічна термодинаміка, теплотехніка). Разом з тим, термодинаміка змушена, окрім своїх основних принципів, використовувати цілий ряд дослідних результатів, наприклад рівняння стану макроскопічних систем. Без використання емпіричних положень такого роду термодинаміка нічого дати не може. Термодинамічний метод має ще один суттєвий недолік, який полягає в тому, що при термодинамічному розгляді залишається нерозкритим внутрішній (атомно-молекулярний) механізм явищ і процесів.

З цієї причини в термодинаміці, як правило, безглузді запитання „чому”? Якщо, наприклад, ми з’ясовуємо термодинамічним методом, що під час швидкого розтягування мідна дротина охолоджується, а гумова полоса нагрівається, то ми повинні задовольнитися цим результатом, а фізичний механізм, який веде до нього, залишається прихованим від нас. На відміну від цього статистичний метод розв’язування задачі з самого початку прослідковує атомно-молекулярний механізм явищ.

Статистичний підхід до дослідження фізичних явищ дозволяє в принципі розв’язати ряд задач, які в принципі не можна розв’язати в рамках термодинамічного методу; прикладами найбільш важливих з них є виведення рівнянь стану макроскопічних систем, теорія теплоємностей, деякі питання теорії випромінення. Нарешті, статистичний метод дозволяє строго обґрунтувати закони термодинаміки і встановити межі їх застосовності, а також передбачити відхилення від законів класичної термодинаміки (флуктуації) і оцінити їх масштаб.

Із сказано зрозуміло, що і термодинаміка, і статистична фізика не мають чітко визначеної для вивчення галузі фізичних явищ і процесів на противагу механіці, оптиці, електродинаміці та іншим розділам фізики, а являють собою перш за все методи вивчення будь-яких макроскопічних систем. Часто говорять про єдиний метод статистичної термодинаміки.

Методами статистичної термодинаміки можна вивчати будь-які системи, що складаються з великого числа частинок: гази, рідини, тверді тіла, плазму, електроліти, випромінення і навіть важкі ядра, які складаються з сотень нуклонів.

Статистична фізика відносно молода наука. Її виникнення як самостійного розділу фізики, очевидно, слід віднести до другої половини 19 століття.

У 1857 р. була опублікована робота німецького фізика Р.Клаузіуса “Про природу руху, який ми називаємо теплом”. У ній ясно сказано, що теплова енергія – це кінетична енергія хаотичного руху молекул. Клаузіус також ввів поняття довжини вільного пробігу, дав правильне молекулярно-кінетичне пояснення явищ теплопровідності і внутрішнього тертя. У 1859 р. з’явилась робота англійського фізика Д.К.Максвела, в якій він одержав закон розподілу молекул за швидкостями, що носить його ім’я.

Подальший розвиток молекулярно-кінетичної теорії газів пов’язаний з ім’ям австрійського фізика Л.Больцмана. Він одержав формулу, яка описує розподіл молекул у зовнішньому полі (розподіл Больцмана) і довів теорему про рівномірний розподіл енергії за ступенями вільності. Больцман з’ясував імовірнісний зміст ентропії.

Інший підхід розглядався американським фізиком Д.В.Гіббсом – сучасником Больцмана. В працях Гіббса статистична фізика одержала фундаментальне обґрунтування, придатне для довільних, а не лише газоподібних систем. Розподіл Гіббса в наш час розглядається як фундаментальний принцип, який за значимістю можна порівняти з рівняннями Ньютона в класичній механіці або рівняннями Максвела в електродинаміці.

Розподіл Гіббса дозволив завершити молекулярно-кінетичне обґрунтування термодинаміки, розпочате Больцманом. При цьому виявились деякі вади класичної статистичної фізики: неможливість створення послідовної теорії теплового випромінення, проблема визначення абсолютної ентропії, неможливість пояснити парадокс Гіббса. Вони були усунуті лише за появи квантової механіки.

Теорія теплового випромінення створена М.Планком у 1900 р., була початком квантової механіки і успішно пояснила властивості теплового випромінення, спостережувані під час дослідів. Індійський фізик Д.М.Бозе, розглядаючи теплове випромінення як газ фотонів, ввів у 1924 р. уявлення про їх нерозрізнимість, що дозволило йому одержати формулу Планка відмінним від Планка способом. У подальшому Ейнштейн розвинув цю ідею, і в результаті була створена квантова статистика, яка називається статистика Бозе-Ейнштейна.

Інша квантова статистика з’явилась у 1926 р. Вона була створена італійським фізиком Е.Фермі і незалежно англійським фізиком П.Діраком. Ці вчені окрім принципу нерозрізнимості врахували також і принцип Паулі. Статистика Фермі-Дірака застосовна до частинок з напівцілим спіном і, зокрема до електронів.

Цей посібник призначений для ознайомлення з основними поняттями статистичної фізики.

Розподіл Максвела - Больцмана.

1. Основний постулат і основна ідея статистичної фізики.

2. Розподіл Максвела – приклад статистичного розподілу.

3. Фізичний зміст параметрів розподілу Максвела.

4. Властивості і застосування максвелівського розподілу:

а) властивості розподілу компонента швидкості;

б) розподіл швидкостей молекул за абсолютною величиною

в) застосування розподілу Максвела.

5. Розподіл Больцмана.

1. Основний постулат і основна ідея статистичної фізики

Властивості і поведінка будь-яких фізичних систем визначається рухом і взаємодією частинок, з яких вони складаються. Наприклад, тиск газу в кожний момент часу визначається імпульсами і координатами молекул, а, в той же час, манометр реєструє середню за часом силу, яка діє на його мембрану. Узагальнюючи це можна стверджувати: макроскопічний термодинамічний параметр є середнє за часом відповідної цьому параметру функції координат і імпульсів частинок, з яких складається система.

Для знаходження фізичних величин як середніх за часом необхідно розв’язувати задачу руху величезної кількості частинок. Це неможливо з причин, які ми раніше розглядали. Однак системи, що складаються з великого числа частинок, виявляють закономірності статистичного типу і тому середній результат можна передбачити не вивчаючи поведінку окремих частинок, а використовуючи методи теорії імовірностей.

Розглянемо питання про способи обчислення середніх значень фізичних величин на прикладі середнього значення квадрата імпульсу молекули р².

1-й спосіб. Вимірюємо імпульс однієї молекули в моменти часу t₁, t₂, t₃,...через малі однакові проміжки t, середнє за часом визначимо так:

2-й спосіб. Вибираємо комірку і через проміжки часу t визначаємо імпульси молекул, які в ці моменти часу знаходяться в комірці. Результат визначається вищеприведеною формулою. Цей спосіб ґрунтується на тому, що всі молекули газу знаходяться в однакових умовах.

3-й спосіб. Однаковість умов для всіх молекул дозволяє визначити шукану величину як середню для всіх N молекул:

Визначене так називається статистичним середнім (або середнім за сукупністю).

Якщо N велике то, очевидно, молекули можна розділити на групи з однаковим (приблизно) імпульсом. Число молекул, які мають імпульс позначимо .

Вимога означає, що чим більше , тим краще співпадатимуть повторні досліди.

Враховуючи те, що - це імовірність виявити молекулу в стані з імпульсом , запишемо

Таким чином, можна визначити якщо відомі всі можливі значення імпульсу та їх імовірності.

Тепер звернемо увагу на таку проблему: чи однакові середнє за часом і середнє статистичне?

(1)

У розглянутому простому випадку з газом таке припущення є досить природним і ґрунтується на гіпотезі молекулярного хаосу.

В складніших випадках рівність (1) не очевидна. Спроби довести її строго математично не увінчались успіхом. На сьогодні, рівність середніх за часом середнім статистичним приймається як основний постулат статистичної фізики. Фактично, в цьому полягає зміст так званої ергодичної гіпотези.

Якщо фізична величина змінюється неперервно, то слід говорити про імовірність того, що її значення знаходиться в певному інтервалі. Позначимо імовірність того, що імпульс р знаходиться в інтервалі Очевидно, що пропорційна величині інтервалу :

- імовірність того, що імпульс знаходиться в деякому одиничному інтервалі. Функцію типу називають функцією густини імовірності, або просто густиною імовірності імпульсу.

Розподіл імовірностей використовується для знаходження середніх статистичних значень неперервних фізичних величин. Наприклад

(2)

Основна ідея статистичної фізики полягає в тому, щоб замість розрахунків координат і імпульсів всіх частинок в різні моменти часу, що необхідно для обчислення фізичних величин як середніх за часом, знайти імовірність того, що система знаходиться в певному мікроскопічному стані, тобто її молекули мають певні координати і імпульси. Знайдені імовірності мікростанів можна використати для обчислення фізичних величин як статистичних середніх.

Завданням теорії є, таким чином, знайти такий закон розподілу, щоб знайдене за його допомогою статистичне середнє від будь-якої функції давало б середнє за часом від цієї функції .