- •Основний постулат і основна ідея статистичної фізики
- •Розподіл Максвела – приклад статистичного розподілу.
- •Фізичний зміст параметрів розподілу Максвела.
- •Тепер запишемо вирази для густини імовірності
- •Властивості і застосування максвелівського розподілу. Розподіл компонента швидкості
- •Розподіл Больцмана.
- •Мікроскопічний опис макроскопічних систем
- •Мікроскопічний опис класичної системи.
- •Фазовий простір.
- •Фазовий об’єм у - просторі.
- •Фазовий об’єм ідеального газу
- •Внаслідок незалежності координат і імпульсів частинок фазовий об’єм системи
- •Задання мікростану квантової системи.
- •Енергія всього газу системи
- •Розрахунок числа можливих станів для ідеального газу.
- •Співвідношення невизначеностей і число квантових станів.
- •Закони статистичного розподілу для систем багатьох частинок
- •Залежність функції розподілу від енергії системи.
- •2. Мікроканонічний розподіл.
- •Канонічний розподіл Гіббса.
- •Великий канонічний розподіл Гіббса.
- •Квантові статистики.
- •06601, Київ-30, вул. Пирогова, 9.
Розподіл Больцмана.
Значна роль у розвитку МКТ газів, термодинаміки і основних ідей статистичної механіки (як тоді називали СФ) належить Людвігу Больцману (1844-1906). Зокрема, він узагальнив розподіл Максвела на той випадок, коли на газ діють зовнішні сили та коли газ є багатоатомним.
За відсутності зовнішніх сил середня концентрація молекул газу в стані рівноваги всюди в посудині однакова. Але цього не буде за наявності силових полів. Розглянемо, наприклад, ідеальний газ в однорідному полі тяжіння. В стані теплової рівноваги температура Т повинна бути однакова по всій товщині газу. Інакше в газі виникли б потоки тепла, спрямовані в сторону зменшення температури, і стан газу не був би рівноважним. Для механічної рівноваги додатково необхідно щоб концентрація молекул зменшувалась із збільшенням висоти.
Знайдемо закон зміни концентрації молекул ідеального газу з висотою у вертикальному полі тяжіння за умови, що має місце теплова і механічна рівновага.
z s - площа
z+dz p+dp dz z p
|
- умова механічної рівноваги.
Знак “-” тому, що і мають різні знаки.
Підставляючи сюди і зважаючи на те, що температура Т однакова на всіх висотах, одержимо
або
Заважимо, що припущення про однорідність поля тяжіння, використане при виведенні, несуттєве. Аналогічне співвідношення можна одержати і для неоднорідного поля. В цьому випадку умову механічної рівноваги необхідно записувати для малого об’єму, в якому поле може вважати однорідним. умову рівноваги в цьому випадку зручніше записувати у векторній формі:
Фізична природа силового поля також не має значення. Воно не обов’язково повинно бути гравітаційним, а може бути електричним або іще яким-небудь. Важливо лише тільки щоб поле було стаціонарним і консервативним (потенціальним).
Якщо - потенціальна енергія молекули в силовому полі, то , а тому
В цьому записі умови механічної рівноваги уже не залишилось ніяких ознак однорідності і фізичної природи силового поля. Інтегруючи, одержуємо
Це важливе співвідношення називається законом розподілу Больцмана, або просто розподілом Больцмана.
Для однорідного поля тяжіння, наприклад, поля Землі поблизу її поверхні, маємо:
де - концентрація на висоті Якщо від концентрації перейти до тиску газу , остання формула перетвориться в
або ,
де - молярна вага газу, - універсальна газова стала. ( ). Остання формула називається барометричною.
Розглянуте виведення розподілу Больцмана є чисто гідростатичним – в ньому ми по суті не враховуємо молекулярної будови газу, розглядаючи його як суцільне середовище. Гідростатичний спосіб має ряд недоліків. Можна дати молекулярно – кінетичне виведення розподілу Больцмана або статистичне, що ми розглянемо пізніше.