- •Основний постулат і основна ідея статистичної фізики
- •Розподіл Максвела – приклад статистичного розподілу.
- •Фізичний зміст параметрів розподілу Максвела.
- •Тепер запишемо вирази для густини імовірності
- •Властивості і застосування максвелівського розподілу. Розподіл компонента швидкості
- •Розподіл Больцмана.
- •Мікроскопічний опис макроскопічних систем
- •Мікроскопічний опис класичної системи.
- •Фазовий простір.
- •Фазовий об’єм у - просторі.
- •Фазовий об’єм ідеального газу
- •Внаслідок незалежності координат і імпульсів частинок фазовий об’єм системи
- •Задання мікростану квантової системи.
- •Енергія всього газу системи
- •Розрахунок числа можливих станів для ідеального газу.
- •Співвідношення невизначеностей і число квантових станів.
- •Закони статистичного розподілу для систем багатьох частинок
- •Залежність функції розподілу від енергії системи.
- •2. Мікроканонічний розподіл.
- •Канонічний розподіл Гіббса.
- •Великий канонічний розподіл Гіббса.
- •Квантові статистики.
- •06601, Київ-30, вул. Пирогова, 9.
Канонічний розподіл Гіббса.
Для розв’язання конкретних задач зручніше розглядати не енергетично ізольовані системи, а системи, які знаходяться в тепловому контакті з оточуючим середовищем, температура якого стала (з термостатом), або розглядати системи, які можуть обмінюватись з термостатом енергією і частинками.
Розглянемо замкнену систему з жорсткими стінками (N=const, V=const), яка обмінюється енергією з термостатом і разом з ним утворює велику квантову ізольовану систему. Енергія системи не має строго фіксованого значення. Статистичний ансамбль у такому випадку називається канонічним. Поставимо питання про те, яка імовірність знайти нашу систему в станах з енергією між .
Енергії великої системи, термостата і системи пов’язані співвідношенням
(9)
де - енергія термостата в k-тому стані; - енергія системи в і-тому стані; знак “ ” підкреслює той факт, що енергія великої системи незмінна, а енергією взаємодії ми нехтуємо. Останнє означає, що систему і термостат можна вважати незалежними протягом тривалого часу. Квазінезалежна система може знаходитися у будь-якому із станів з енергією , а термостат – у станах з енергією . Зміна мікростану системи при незмінній енергії не впливає на стан термостата і навпаки.
Кожному інтервалу енергії великої системи, термостату і системи відповідає певне число квантових станів. Наприклад, число доступних квантових станів, які відповідають енергії системи в межах від до будемо позначати . Як ми уже раніше з’ясували, ~ . З цього випливає така властивість : якщо є система, що складається з двох незалежних частин, і число станів кожної з них рівне і , то число станів складної системи рівне .
Наша велика система знаходиться в стані рівноваги (за умовою). Отже, до неї можна застосувати постулат про мікроканонічний розподіл. З цього постулату випливає, що імовірність знаходження великої системи в будь-якому з доступних станів одна і та ж і рівна 1/ . Нас цікавить імовірність того, що система знаходиться в станах з енергією (від до ). Ці стани мають місце тоді лише, коли енергія великої системи не просто дорівнює Е, а ще й енергія термостату має певне значення: . Тому шукана може бути одержана сумуванням 1/ по всіх станах, для яких енергія системи , а енергія термостату :
,
де const – не залежить від .
Певне число доступних станів великої системи, в яких енергія квазінезалежної системи рівна , виражається добутком
.
Отже, шукану імовірність можна представити так
(10)
Для того, щоб розподіл (10) набув конкретного вигляду, необхідно розкрити залежність від . Це можна зробити, розклавши в ряд Тейлора і обмежившись першим членом розкладу. Перш ніж це робити, представимо число станів так:
, (11)
де - нова функція ( ).
Розкладемо в ряд Тейлора:
,
де
Підставляючи, одержимо:
, (12)
де під const розуміємо добуток коефіцієнта пропорційності і величини , яка не залежить від і властивостей квазінезалежної системи. Ця стала може бути знайдена з умови нормування:
Остаточно одержимо
(13)
Величина одержала назву модуля розподілу або статистичної температури. Сума називається “статистичною сумою” або “сумою за станами”.
Зауважимо, що ми одержали канонічний розподіл Гіббса з мікроканонічного розподілу для великої системи.
Для класичної квазінезалежної системи канонічний розподіл має такий вигляд
. (14)
Статистичний інтеграл визначається з умови нормування
.
Статистичний інтеграл пов’язаний з вільною енергією системи:
.
Тоді канонічний розподіл Гіббса набуває вигляд
(15)