Енергія всього газу системи

де

Задання N наборів квантових чисел повністю визначає стан розглядуваного ідеального газу, Як бачимо, в цьому прикладі задання мікро стану звелось до опису квантових станів окремих частинок.

Розглядаючи стиснені гази, рідини і тверді тіла взаємодією молекул нехтувати не можна. В таких випадках потрібно говорити про стан системи в цілому. Однак є багато випадків коли взаємодія між частинками системи дуже мала і тому можна говорити про квантові стани окремих частин. Це можуть бути молекули або їх групи, блоки макроскопічних розмірів тощо. Назвемо їх квазінезалежними підсистемами. Взаємодія між ними проявляється лише в тому, що змушує підсистеми здійснювати переходи між допустимими для них квантовими станами.

Опис мікростану квантовою мовою полягає у перерахуванні квантових станів всіх квазінежалежних підсистем, з яких складається система.

3. Розрахунок числа можливих станів для ідеального газу.

В квантовій статистичній фізиці принципово важливо є така характеристика системи, як число можливих її квантових станів при заданих значеннях енергії і зовнішніх величин (параметрів).

Знайдемо це число для ідеального газу. Як окремі підсистеми тут виступають молекули.

Визначимо спочатку число можливих мікро станів однієї молекули при енергіях

Для цього введемо умовний простір квантових станів, в якому по осях декартових координат відкладаються числа . Кожне з цих чисел може набувати дискретних значень від 1 до , причому визначається з формули (13):

Кожній точці з цілими значеннями відповідає один стан. Точки, що зображають стани молекул, лежать у першому октанті в межах сфери радіуса .

Справа в тому, що на кожну точку припадає одиничний об’єм умовного простору. Отже число станів дорівнює

(14)

де – фізичний об’єм, який займає газ.

Оцінимо значення та для водню, який за нормальних умов займає об’єм 1см³. Середня енергія молекули , , і .

Як бачимо число допустимих станів для однієї молекули дуже велике. Більше того, дуже великим буде число станів, яке припадає навіть на елементарний інтервал енергії .

За формулою(14)

(15)

Якщо і , що складає 0,0001 від середньої енергії теплового руху, то .

Всі мікростани системи з двох незалежних частинок можна одержати комбінуючи кожен можливий стан першої частинки з кожним допустимим станом другої. Якщо перша частинка має різних станів, а друга - , то система характеризується числом мікростанів , рівним добутку . Для N молекул ідеального газу число станів дорівнює

.

3. Співвідношення невизначеностей і число квантових станів.

Розрахунки числа квантових станів спрощуються, якщо використати такий наближений метод. Звернемо увагу на подібність формул (7) і (15). Порівнюючи їх, бачимо, що об’єм фазового простору , який відповідає всім станам однієї частинки з енергією в інтервалі , пропорційний числу квантових станів тієї ж частинки, причому

(16)

Одержаний результат можна узагальнити на довільну систему, яка має ступенів вільності. Число квантових станів , яке відповідає елементу об’єму фазового простору , визначається співвідношенням

(17)

де .

Формулу (17) можна обґрунтувати так. З точки зору квантової механіки координата і спряжений їй імпульс не можуть бути задані одночасно точно

(18)

Тому квантовому стану відповідає не фазова точка, а деякий об’єм фазового простору

.

Для макроскопічних систем з великою точністю виконується наближена рівність . Ця формула тим точніша, чим ближче рух частинок до класичного, що можна бачити на прикладі (16).

Поступальний рух молекул ідеального газу є квазікласичним, Тому для одноатомного ідеального газу вірні формули

(19)

(20)

Зауважимо, що формули (17), (19) і (20) не враховують всіх квантових особливостей поведінки мікрочастинок. Зокрема, формула (17) не враховує внутрішніх студентів свободи, наприклад, спіна. Далі, формула (8) і (10) та (11), які з неї витікають, не враховують тотожності частинок. Врахування тотожності приводить до таких формул для ідеального газу

(21)

. (22)