- •Основний постулат і основна ідея статистичної фізики
- •Розподіл Максвела – приклад статистичного розподілу.
- •Фізичний зміст параметрів розподілу Максвела.
- •Тепер запишемо вирази для густини імовірності
- •Властивості і застосування максвелівського розподілу. Розподіл компонента швидкості
- •Розподіл Больцмана.
- •Мікроскопічний опис макроскопічних систем
- •Мікроскопічний опис класичної системи.
- •Фазовий простір.
- •Фазовий об’єм у - просторі.
- •Фазовий об’єм ідеального газу
- •Внаслідок незалежності координат і імпульсів частинок фазовий об’єм системи
- •Задання мікростану квантової системи.
- •Енергія всього газу системи
- •Розрахунок числа можливих станів для ідеального газу.
- •Співвідношення невизначеностей і число квантових станів.
- •Закони статистичного розподілу для систем багатьох частинок
- •Залежність функції розподілу від енергії системи.
- •2. Мікроканонічний розподіл.
- •Канонічний розподіл Гіббса.
- •Великий канонічний розподіл Гіббса.
- •Квантові статистики.
- •06601, Київ-30, вул. Пирогова, 9.
Фазовий об’єм у - просторі.
В СФ принципово важливою є така характеристика системи як фазовий об’єм класичної системи. Обчислимо цей об’єм для ідеального газу.
Об’єм фазового простору однієї частинки, яка вільно рухається в об’ємі V фізичного простору і має енергію в інтервалі від 0 до , дорівнює
(5)
Координати x, y, z обмежені розмірами посудини, в якій знаходиться газ. Положення частинки ніяк не зв’язано з її імпульсом, тому інтегрувати можна незалежно
.
Оскільки , то якщо імпульс частинки p знаходиться в межах
, де .
Можливі будь-які напрямки руху, тому
.
Однак в будь-який момент
Звідси видно, що всі допустимі мікростани частинки заповнюють у підпросторі імпульсів - простору сферу радіусом . Її об’єм дорівнює
Для фазового об’єму одержуємо
(6)
Звідси випливає, що мікростанам з енергіями від до відповідає елементарний об’єм - простору.
(7)
Фазовий об’єм ідеального газу
Нехай в посудині об’ємом V знаходиться ідеальний газ, який складається з N однакових частинок. Знайдемо фазовий об’єм цієї системи якщо її енергія може набувати значень в межах від 0 до E.
Кожна частинка може знаходитись в будь-якій точці об’єму V і мати будь-який напрямок руху (молекулярний хаос). Взаємодія при зіткненнях між частинками викликає зміну їх енергії, але всі допустимі значення енергії однієї частинки лежать в межах від 0 до E.
Внаслідок незалежності координат і імпульсів частинок фазовий об’єм системи
(8)
Координати всіх частинок змінюються незалежно в межах об’єму V, який займає газ. Тому
Енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій частинок. При цьому повинна виконуватись нерівність
або (9)
Кожна з проекцій імпульсу може мати значення в межах від до . Отже нерівність (9) виділяє у просторі імпульсів сферу радіусом з центром у початку координат. Інтеграл по імпульсах рівний об’єму цієї сфери.
З міркувань розмірності об’єм 3N - вимірної кулі повинен бути пропорційним .
Тоді одержимо
(10)
де ДN - сталий множник (коефіцієнт пропорційності), який не залежить від енергії і об’єму системи.
Елементарний об’єм, що припадає на інтервал енергії системи
(11)
Задання мікростану квантової системи.
Згідно квантової механіки координати p і q не можуть бути визначені одночасно (принцип невизначеності Гейзенберга) тому класичне розуміння фазового простору втрачає свій зміст. В квантовій статистичній фізиці мікроскопічні стани системи визначаються як стани у квантовомеханічному розумінні. Ці мікро стани описуються хвильовими функціями , які разом з допустимими значеннями енергії знаходяться з рівняння Шредінгера
(12)
де - гамільтоніан системи.
Таким чином, мікроскопічні стани системи з точки зору квантової статистичної фізики це сукупність дискретних квантових станів.
Хвильові функції залежать від координат всіх частинок. Для цілей статистичної фізики знати хвильові функції не обов’язково : досить знати рівні енергії , кратність їх виродження та квантові числа в які повністю визначають стан системи.
Рівняння (11) можна розв’язати лише наближено. Виключенням є ідеальний газ, в якому взаємодією між частинками можна знехтувати. В такому випадку хвильову функцію системи можна представити як добуток хвильових функцій окремих частинок a рівняння ( ) “розпадається” на сукупність рівнянь Шредінгера для окремих частинок (одночастинкових рівнянь).
Розглянемо ідеальний газ, молекули якого вільно рухаються в посудині кубічної форми з ребром a. Всі молекули знаходяться в однакових умовах і тому розв’язавши одне з одночастинкових рівнянь знайдемо всі стани, в яких може знаходитись будь-яка молекула. Як відомо з квантової механіки, стани молекул за умов розглядуваної задачі визначаються трійкою квантових чисел що незалежно набувають знань, рівних числам натурального ряду.
Енергія i – тої молекул рівна
(13)
Очевидно .