3. Фізичний зміст параметрів розподілу Максвела.

Одна з умов для визначення сталих С і випливає з вимоги, щоб інтеграл від густини імовірності по всіх можливих значеннях аргументу був рівний одиниці. Ця умова називається умовою нормування і записується так:

або .

Звідси стала С визначається через сталу :

.

З останнього виразу видно, зокрема, що стала повинна бути додатна, оскільки в противному випадку інтеграл розходиться і стала С виявляється рівною нулю. Значення визначеного інтеграла можна знайти в таблицях, воно виявляється рівним .Остаточно одержуємо:

,

(8)

Стала залежить від умов, в яких знаходиться газ, і тому її можна виразити через параметри газу. Для цього розглянемо конкретне фізичне завдання. Користуючись уже відомим способом знаходження середніх статистичних, знайдемо середню кінетичну енергію, яка припадає на один ступінь вільності розглядуваного ідеального газу (на компоненту v_x):

(за теоремою про рівномірний розподіл енергії).

Для знаходження інтеграла , продиференціюємо по рівняння

Враховуючи одержане, можна записати

.

Звідси

,

(9)

За допомогою цього співвідношення до статистичної теорії вводиться температура Т.

Тепер запишемо вирази для густини імовірності

,	(10)
,	(11)

Розподіли імовірностей (10) і (11) нормовані на одну молекулу газу.

Формула (11) відома як функція розподілу Максвела.

Зважаючи на те, що , функцію розподілу Максвела можна записати так:

,

(12)

Зауважимо, що якщо - це відображення симетрії руху молекул – якщо центр мас всього газу нерухомий, то переважного напрямку швидкості немає.

4. Властивості і застосування максвелівського розподілу. Розподіл компонента швидкості

Густина імовірності для компонента швидкості обчислюється за формулою (10). Вона нормована на одну молекулу: - імовірність того, що компонента (v_x) знаходиться в інтервалі [v_x, v_x+dv_x,].

Якщо інтервал dv_x досить малий, то число молекул, компоненти швидкості яких знаходяться у цьому інтервалі, визначаються формулою:

,

де N - загальне число молекул газу.

Функція симетрична відносно точки _x=0 і має характерну дзвоноподібну форму, яка часто зустрічається в статистиці і називається кривою Гауса або нормальним розподілом.

:

чим більша Т, тим менша . З температурою пов’язана також “напівширина” розподілу, тобто величина , що відповідає - зменшенню функції розподілу в е разів порівняно з значенням. Ця “напівширина” визначається з умови

Таким чином, із зменшенням температури розподіл стає “вужчим” і “вищим”, що пояснюється зменшенням середньої кінетичної енергії молекули при Т0

Розподіл швидкостей молекул за абсолютним значенням.

Ми уже зауважували, що F( )=F( ) якщо абсолютні значення і однакові.

Знайдемо імовірність того, що швидкість деякої молекули має значення в інтервалі [v, v+dv,].

.

Цю імовірність можна знайти скориставшись теоремою про додавання імовірностей несумісних подій (якщо молекула має швидкість та в цей момент вона не може мати швидкість - несумісні події), додаючи імовірності однакових за модулями але різних за напрямами швидкостей:

Сумування ведеться по всіх для яких однакова. Тоді можна винести за знак суми, а - це об’єм сферичного шару, обмеженого сферами з радіусами v і v+dv: = .

Остаточно одержимо.

Враховуючи вигляд , одержимо

(13)

Формула (13) – розподіл Максвела для модуля швидкості.

Графічно цей розподіл виглядає так:

Крива виходить з точки досягає максимуму, спускається вниз і асимптотично наближається до осі швидкостей. Швидкість, при якій функція має називається найбільш імовірною .

Вона знаходиться з умови

.

Із збільшенням температури максимум розподілу зміщується в сторону більших швидкостей, а висота кривої в максимумі зменшується.

Застосування максвелівського розподілу.

В будь-якій системі, енергія якої рівна сумі енергій окремих частинок (система з адитивною енергією), для розподілу частинок має місце вираз аналогічний максвелівському.

Маючи в своєму розпорядженні функції густини імовірності Максвела можна розв’язувати завдання двох типів.

По-перше, можна знаходити середні значення функцій швидкості частинки.

По-друге, можна знаходити імовірності тих чи інших подій, наприклад, імовірність того, що компонент чи модуль швидкості знаходяться в певних межах.

Зокрема за допомогою розподілу (17) можна обчислити середнє значення самого модуля швидкості:

.

(19)

Це значення можна порівняти з величиною середньоквадратичної швидкості:

.

(20)

Хоча остання величина всього лише на 7% більша, ніж , ця різниця вказує на ту обставину, що операція усереднення, взагалі кажучи, не комутує з іншими операціями, як, наприклад, піднесення до квадрату.