Мікроскопічний опис макроскопічних систем

1. Мікроскопічний опис класичної системи.

2. Фазовий простір.

3. Фазовий об’єм у -просторі.

4. Фазовий об’єм ідеального газу.

5. Задання мікро стану квантової системи.

6. Розрахунок числа можливих станів для ідеального газу.

7. Співвідношення невизначеностей і число квантових станів.

1. Мікроскопічний опис класичної системи.

Загальна фізична теорія систем, які складаються з великої кількості частинок, називається статистичною фізикою (СФ).

При вивченні макроскопічної системи в СФ виходять з певної її моделі. Спочатку виділяються елементарні структурні одиниці (елементи), з яких побудована система. Далі вказується як вони взаємодіють один з одним і як засобами класичної або квантової механіки описується рух і взаємодія елементів.

СФ розглядає властивості фізичних систем, які пов’язані з невпорядкованим, хаотичним рухом елементів. Залежно від умов у тепловому русі бере участь речовина на різних структурних рівнях. При кімнатних температурах елементи це молекули. З підвищенням температури слід говорити про атоми (на які розпадаються молекули). При температурах порядку 10⁴ К атоми іонізуються, а при 10⁷ К відбуваються ядерні перетворення речовини. Надалі, якщо не буде обумовлене інше, будемо вважати речовину такою, що складається з молекул.

Для опису руху мікрочастинок звичайно застосовується квантова механіка, однак для опису поступального руху молекул можна застосувати і класичну механіку. (Навіть для найлегшої молекули – молекули водню – довжина хвилі де Бройля менша, ніж 10^-10 м).

Будемо вважати мікрочастинку матеріальною точкою, яка в кожний момент часу має певне положення у просторі і певний імпульс, що задаються векторами

і

Замість декартових координат і декартових проекцій імпульсу мікрочастинки можна використовувати шість інших величин: три узагальнені координати і три узагальнені імпульси – це дозволяє в ряді випадків спростити обчислення (викладки). Система з N частинок описується 6 N змінними. Одночасне задання 3 N координат і 3 N проекцій і імпульсів визначає мікроскопічний стан системи. Мікроскопічний стан, мікроскопічний опис системи пов’язаний з макроскопічним станом, макроскопічним описом, які полягають у заданні (визначенні) небагатьох термодинамічних величин. Мікроскопічний і макроскопічний опис – це два рівні інформації про систему: детальний і крупно плановий.

2. Фазовий простір.

Наочно геометрично мікростан можна зобразити точкою у фазовому просторі. Фазовий простір це багатовимірний простір всіх узагальнених координат та імпульсів частинок системи, який використовується не лише в СФ, але і в класичній механіці. Зображаюча або фазова точка системи N частинок має 6N фазових координат. З часом вона змінює своє положення у фазовому просторі. Лінія, вздовж якої рухається фазова точка, називається фазовою траєкторією.

Рух фазової точки зручно описувати канонічними рівняннями Гамільтона:

(і=1, 2, ..., 3,) (1)

Функція Гамільтона Н - це енергія системи, виражена через узагальнені координати і узагальнені імпульси

(2)

Її можна представити як сумарну кінетичну енергію частинок і потенціальну енергію їх взаємодії одна з одною і з зовнішніми тілами ( - характеризує зовнішню дію на систему).

Рівняння фазової траєкторії можна задати 6N функціями типу

Які є розв’язками рівнянь Гамільтона.

Енергія консервативної системи Е – величина стала. Функція Гамільтона для такої системи також буде сталою (незалежно від положень та імпульсів частинок):

Це означає, що фазова траєкторія зображення точки консервативної системи повинна лежати на поверхні сталої енергії, як показано на рисунку

Слід зауважити, що фазова траєкторія описує послідовну з часом зміну мікро станів системи. Її не слід плутати з переміщенням частинок у реальному тривимірному фізичному просторі.

Елементарний об’єм фазового простору рівний

(3)

або, в скороченому позначенні .

Якщо - Декартові координати точок у реальному просторі, а - проекції імпульсів у тривимірному просторі імпульсів то

(4)

В розглянутому випадку фазовий простір був розділений на два підпростори (конфігурацій та імпульсів).

Якщо взаємодія між молекулами відсутня або дуже мала (ідеальний газ) то фазовий простір можна розділити на N підпросторів, які відповідають кожній частинці. Ці - простори шестивимірні.

Всі мікростани ізольованої системи (зображаючі фазові точки) лежать в скінченому об’ємі фазового простору. Це пов’язано з тим, що координати і імпульси частинок змінюються в певних (скінченних) межах.