1.4.2. Воздействие на оптимальное решение изменений в обеспечении не лимитирующими ресурсами

В примере 1.6. рассматривались два лимитирующих ограничения на труд и листовой металл. Остальные ограничения в первоначальном оптимальном решении не являются лимитирующими. Это ограничения на:

1. Производственные мощности для выпуска деталей типа X.

2. Производственные мощности для выпуска деталей типа Y.

3. Металлические стержни.

4. Постоянные заказы.

5. Профсоюзное соглашение.

Что происходит при изменении каждого из этих ограничений? Первые три ресурса используются в меньших или равных максимальному количествах. Любое увеличение запаса этих ресурсов не будет оказывать влияния на оптимальное решение задачи. Однако на него может влиять уменьшение запасов, соответствующих трем указанным ограничениям. Увеличение жесткости одного из нелимитирующих ограничений приведет к перемещению его линии в сторону начала координат. Сначала единственным изменением будет сокращение размеров допустимого множества. Однако когда линия ограничения переместится ниже исходной оптимальной крайней точки, данное ограничение станет лимитирующим, что приведет к появлению нового оптимального решения.

Предельные значения для этих ограничений ниже максимального уровня. Так, производственные мощности для деталей типа Х можно сократить с 2250 до 1500 ч, т.е. на 750 ч, прежде чем это ограничение начнет оказывать воздействие на решение задачи. Производственные мощности для деталей типа У могут быть сокращены с 1750 до 1250 ч, т.е. на 500 ч. Запас металлических стержней можно уменьшить с 10000 до 9250 кг, т.е. на 750 кг в неделю. Количественные выражения этих сокращений есть не что иное, как значения остаточных переменных, о которых мы упоминали выше. С ограничениями, для которых количество ресурсов больше либо равно минимальному, все наоборот. Любое сокращение минимального количества ресурсов приведет к увеличению размеров допустимого множества, но не окажет воздействия на оптимальное решение.

Любое увеличение правой части этих ограничений сначала приведет к сокращению размеров допустимого множества, а затем повлияет и на оптимальное решение. Если постоянные заказы на детали типа Х возрастут на 900 и достигнут 1500 деталей в неделю, оптимальное решение начнет изменяться. Если предусмотренное профсоюзным соглашением число деталей возрастет не менее чем на 1250 и превысит 2750 деталей, допустимое множество станет пустым, и задача не будет иметь решения. Количественные выражения увеличения ресурсов - это значения избыточных переменных для этих ресурсов, о которых говорилось выше.

1.4.3 Воздействие на оптимальное решение изменений в коэффициентах целевой функции

Условия для которых составлялась задача линейного программирования неизбежно изменяются. Чаще всего эти изменения предполагают повторное выполнение формализации задачи, но должна существовать возможность идентифицировать воздействие незначительных изменений на решение исходной задачи. В этом разделе мы рассмотрим изменения коэффициентов целевой функции. Если цель состоит в максимизации еженедельного дохода, то изменение стоимости сырья приведет к изменению значений коэффициентов целевой функции.

В задаче о портфеле ценных бумаг, когда целью является максимальная ежегодная отдача инвестиций, на коэффициенты целевой функции может воздействовать изменение процентной ставки происшедшее в одном из объектов вложения инвестиции,

Рассмотрим ситуацию, когда один из коэффициентов целевой функции изменяется во времени. Предположим, что

Р = ax + 4у (ф. ст. в неделю)

целевая функция, максимизирующая прибыль в задаче линейного программирования. где 4 - прибыль от выпуска единицы продукции Y (ф. ст.), а - прибыль от выпуска единицы продукции Х (ф. ст.). Прибыль от продукции Х может меняться. Предположим, что существует графическое изображение данной задачи, в котором значения переменных х и у отложены на соответствующих осях координат. Полезно переписать целевую функцию таким образом, чтобы у являлось зависимой переменной:

у = Р/4 - (а/4)х.

Линия уровня целевой функции пересекает ось ординат в точке Р/4, а тангенс угла ее наклона равен - (а/4). Точка пересечения линии уровня с осью ординат не зависит от значения параметра а, однако угол ее наклона увеличивается с ростом а, и наоборот. Иными словами, с изменением параметра а, линия уровня поворачивается. Незначительные перемещения ее в любом направлении обычно не приводят к изменению оптимальной крайней точки. Однако в результате более значительных изменений угла наклона линии уровня может появиться новая оптимальная крайняя точка. Полезно определить промежуток значений параметра a, для которых некоторая крайняя точка допустимого множества является оптимальной. Аналогичным образом можно поступать, если фиксированным является коэффициент целевой функции при переменной х, а коэффициент при у подвержен изменениям.

Пример 1.7. Обратимся к примерам 1.2. и 1.5., в которых рассматривается производство деталей к автомобилям. Допустимое множество выглядит следующим образом:

Линия уровня еженедельного дохода .имеет вид:

Р = 30 х + 40 у (ф. ст. в неделю).

На рис. 1.17 она проходит через оптимальную крайнюю точку А. Теперь вспомним, что доход от выпуска единицы деталей типа Х может меняться. Каков промежуток значений единичного дохода, для которых А остается оптимальной крайней точкой? Единичный доход от высушки деталей типа Y остается неизменным.