Ступенчатый цикл для (r, фиктивный) с Фиктивный

Знак "+" означает увеличение количества перевозимых изделий в данной клетке; знак "-" — уменьшение соответствующего количества изделий.

Клетки со знаком "-" — это клетки (R, фиктивный) и (R,C), объем перевозок в которых равен 7 и 4 изделиям соответственно. Минимальным значением для клеток, отмеченных знаком "-", является 4, что означает, что внутри цикла можно осуществлять перемещение четырех изделий, добавляя их в клетки со знаком "+" и вычитая из клеток со знаком "—". Общая экономия стоимости транспортировки составит в данном случае (2 х 4) = 8 ф. ст. Изменения, внесенные в транспортную таблицу, отражены в табл. 2.16.

Таблица 2.16.

Перераспределение перевозок

Данное решение по-прежнему является базисным, так как число заполненных клеток равно 6. Проверим данное решение на оптимальность с использованием метода МОДИ. Обратившись к заполненным клеткам (Р,С), (Р, фиктивный), (О,В), (R,A), (R,B) и (R, фиктивный), получим:

c₁₃ = 5 = u₁ + v_з Положим u₁ = 0, тогда v₃ = 5;

c₁₄ = 0 = u₁ + v₄ v₄ = 0;

с₃₄ = 0 = u₃ +v₄ u₃ =0;

c₃₁ = 1 = u₃ + v₁ v₁=1

c₃₂ = 20 = u₃ + v₃ v₂ = 20;

c₂₂ = 10 = u₂ + v₂ u₂ = -10.

Таким образом, теневые цены соответствующие пустым клеткам, будут равны:

s_ij = c_ij - (u_i + v_j);

s₁₁ = 10 - (0+ 1) = + 9:

s₁₂ = 20 - (0 + 20) = 0;

s₂₁ = 2 - (-10 + 1) = + 11;

s₂₃ = 8 - (-10 + 5) = + 13;

s₂₄ = 0 - (-10 + 0) = + 10;

s₃₃ = 7 - (0 + 5) = + 2.

Поскольку ни одно из значений теневых цен не отрицательно, полученное решение является оптимальным.

Минимальная стоимость равна:

ф. ст.

Таблица 2.17.

Проверка распределения перевозок на оптимальность с использованием метода моди

Решение.

• Шесть изделий перевозятся со склада Р в розничный магазин С, три изделия остаются на складе Р.

• Четыре изделия перевозятся со склада Q в магазин В.

• Со склада R перевозятся три изделия в магазин А. одно — в магазин В, а четыре изделия остаются на складе.

В случае если и повторное распределение перевозок не является оптимальным, процедуру перераспределения повторяют необходимое число раз.

Следует отметить, что минимальная. стоимость была достигнута еще 8 исходном распределении перевозок, полученном методом Вогеля. Такая ситуация в задачах небольшой размерности бывает довольно часто. Обычно метод Вогеля позволяет получить наилучшее начальное решение, однако нет никаких гарантий, что применение этого метода сразу обеспечивает получение оптимального решения. Следует также отметить, что распределение перевозок, полученное методом Вогеля, несколько отличается от распределения, найденного выше (см. пример 2.2.). Данная задача имеет альтернативное оптимальное решение:

• Со склада Р одно изделие вывозятся в магазин В, шесть - в магазин С, а два — остаются на складе;

• Со склада О четыре изделия вывозится в магазин В;

• Со склада R три изделия вывозятся в магазин А, а пять остаются на складе. О существовании альтернативного оптимального решения говорит и нулевое значение теневой цены, соответствующей клетке (Р,В). Нулевые значения теневых цен всегда связаны с существованием альтернативных оптимальных распределений перевозок, которым соответствует одно значение общей стоимости транспортировки.