Система дистанционного обучения

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ

Владивосток

ДВГАЭУ

2001

Экономико-математические методы. Математические методы и модели в экономике. Раздаточный материал/ сост. Аксенова Р.Н.- Владивосток, ДВГАЭУ, 2001.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	4
1.1. ВВЕДЕНИЕ	4
1.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ	4
1.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ	9
1.4. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ	18
1.4.1. Воздействие изменений в обеспечении лимитирующим ресурсом на решение задачи линейного программирования	18
1.4.2. Воздействие на оптимальное решение изменений в обеспечении не лимитирующими ресурсами	21
1.4.3 Воздействие на оптимальное решение изменений в коэффициентах целевой функции	21
1.5. СИМПЛЕКС-МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С МНОЖЕСТВОМ ПЕРЕМЕННЫХ	26
1.6. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И СИМПЛЕКС-МЕТОД	32
1.7. ДВОЙСТВЕННАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ	37
РЕЗЮМЕ	41
УПРАЖНЕНИЯ	42
Глава 2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ	50
2.1. ВВЕДЕНИЕ	50
2.2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И АЛГОРИТМ ЕЕ РЕШЕНИЯ	50
2.2.1. Транспортная задача	50
2.2.2. Алгоритм решения транспортной задачи	52
2.2.3. Поиск начального распределения ресурсов	53
2.2.4. Проверка на оптимальность	56
2.2.5. Поиск оптимального решения	62
2.2.6. Анализ чувствительности	64
2.2.7. Модификации транспортной задачи	66
2.3. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ	70
2.3.1. Алгоритм решения задачи о назначениях	70
2.3.2. Особые случаи задачи о назначениях	73
РЕЗЮМЕ	75
УПРАЖНЕНИЯ	76
ТЕСТЫ	84
ЛИТЕРАТУРА	92

Глава 1. Линейное программирование

1.1. Введение

Существует множество форм деятельности предприятий, которые связаны с распределением ресурсов. Эти ресурсы включают труд, сырье, оборудование и денежные средства. Иногда процесс распределения ресурсов называют программированием. Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы. Если компания выпускает продукцию нескольких видов с использованием одного и того же оборудования и трудовых ресурсов, то ее администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации. Администрация может задаться целью наладить производство таким образом, чтобы максимизировать общий выпуск продукции за месяц, максимизировать время использования оборудования за неделю или минимизировать еженедельные затраты труда. Переменные решения — это количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени.

Аналогично, если компания обладает определенным капиталом для инвестирования ряда проектов, распределение денежных сумм по каждому проекту будет подчинено некоторой цели. Она может заключаться в минимизации риска или максимизации темпов роста капитала. Переменные решения в данном случае — это денежные суммы, помещаемые в каждый проект.

В общем случае цель состоит в определении наиболее эффективного метода такого распределения ресурсов по соответствующим переменным, которое оптимизирует некоторый результат функционирования системы. Очень часто полезным инструментом в процессе распределения ресурсов являются методы моделирования. Математическим программированием называется использование математических моделей и методов для решения проблем программирования. Существует ряд различных методов, основанных на идеях математического программирования, однако мы рассмотрим только один из них, который нашел наиболее широкое применение, — линейное программирование.

Линейное программирование является подходящим методом для моделирования распределения ресурсов, если цель и ограничения на ресурсы можно выразить количественно в форме линейных взаимосвязей между переменными. Этот метод включает в себя ряд шагов:

1. Необходимо осуществить математическую формализацию задачи линейного программирования. Это означает, что нужно идентифицировать управляемые переменные и цель задачи. Затем с помощью этих переменных цель и ограничения на ресурсы описываются в форме линейных соотношений.

2. После завершения формулировки задачи линейного программирования рассматриваются все допустимые сочетания переменных. Из них выбирается то, которое оптимизирует целевую функцию задачи. Если исследуемая задача содержит только две переменные, ее можно решить графически. Однако в случае исследования задачи со многими переменными необходимо прибегнуть к одному из алгебраических методов решения задач линейного программирования, для использования которых существуют пакеты прикладных программ.

3. Когда оптимальное решение получено, производится его оценка. Она включает в себя анализ задачи на чувствительность.

Решение задачи линейного программирования, как и любой иной математический инструмент, применяемый в теории принятия решений, является лишь одним из факторов, влияющих на конечное решение, принимаемое администрацией. Рассмотрение линейного программирования мы начнем с проблемы формулировки задачи.