10

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

Движение планет. Законы кеплера

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Ознакомление с методами вычислений сидерических Т и синодических S периодов обращений тел Солнечной системы, элементов эллиптических орбит и масс М тел Солнечной системы.

НЕОБХОДИМОЕ ОБОРУДОВАНИЕ:

1. Электронная клавишная вычислительная машинка (ЭКВМ) или персональный компьютер (ПК).

2. Задание (получить у преподавателя).

ВОПРОСЫ К ДОПУСКУ:

1. Конфигурации планет.

2. Синодические и сидерические периоды обращений планет, уравнения синодического движения.

3. Законы Кеплера, элементы эллиптической орбиты.

4. Закон всемирного тяготения.

5. Обобщенные законы Кеплера.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс астрономии: Учебное пособие. -М.: Едиториал УРСС, 2001, Гл.2, §§ 2.1-2.21, с.56-96.

Методические указания к выполнению работы

I. Краткий теоретический материал

Ч етыре особых положения планеты на своей орбите относительно Земли и Солнца называются конфигурациями этой планеты. Рассмотрим конфигурации нижних (внутренних) планет – Меркурия, Венеры, и конфигурации верхних (внешних) планет – Марса, Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна, Плутона. Напомним, что, если орбита планеты расположена внутри орбиты Земли, то планета называется внутренней, если орбита планеты расположена вне орбиты Земли, то планета называется внешней.

1. Для нижних планет различают следующие четыре конфигурации: нижнее соединение, западная элонгация, верхнее соединение, восточная элонгация. Рассмотрим эти конфигурации нижних планет на примере движения планеты Меркурий.

Н а рис. 1: ⊙ – Солнце, ⊕ – Земля на своей орбите. Стрелками указаны направления движения Земли по орбите и направление вращения Земли вокруг оси. Положение Меркурия на его орбите в моменты конфигураций обозначено как ● с индексом. Штриховая дуга – часть небесной сферы с центром в точке наблюдения на поверхности Земли. 1⊙●, 2●, 3●⊙, 4● – проекции центров дисков Солнца и Меркурия на небесную сферу в моменты конфигураций. Здесь и далее для простоты пренебрегаем наклонением орбит планет к плоскости эклиптики. Кроме того, положение Земли на рисунке фиксировано, следовательно, для Меркурия стрелкой указано направление относительного движения (оно будет совпадать с направлением действительного движения планеты по орбите).

а . В положении ●₁ на орбите Меркурий находится между Солнцем и Землей. Для земного наблюдателя центры дисков Солнца и Меркурия “соединяются”, то есть проецируются в одну точку небесной сферы – в точку 1⊙●. Эклиптикальные геоцентрические долготы Меркурия и Солнца равны, то есть _⊙ - _● = 0. Планета Меркурий и Солнце одновременно появляются над горизонтом в восточной стороне неба, и поэтому Меркурий нельзя будет наблюдать. Конфигурация ●₁ – нижнее соединение. В момент нижнего соединения иногда можно наблюдать прохождение диска Меркурия (или Венеры) по диску Солнца.

б . Так как угловая скорость движения по орбите у Меркурия больше, чем у Земли, то через некоторое время Меркурий окажется в положении ●₂, при котором угол ⊙●₂⊕, то есть, угол с вершиной в центре Меркурия и со сторонами Меркурий-Солнце и Меркурий-Земля равен 90. Центр диска Меркурия проецируется на небесную сферу в точку 2● и “удален” к западу (W) от проекции центра солнечного диска на некоторый угол  – угол элонгации. Планета будет видна утром в восточной стороне неба незадолго перед восходом Солнца. Конфигурация ●₂ – западная элонгация – наибольшее западное угловое “удаление” планеты от Солнца: _⊙ - _● = .

в . После прохождения положения ●₂ диск планеты на небесной сфере будет приближаться к диску Солнца, пока Меркурий не займет на орбите положение ●₃, при котором Солнце будет находиться между Землей и Меркурием. Центры дисков Меркурия и Солнца опять “соединятся” и будут проецироваться в одну и ту же точку небесной сферы 3●⊙. Как и в случае ●₁, планета и Солнце одновременно появятся над горизонтом наблюдателя в восточной стороне неба, следовательно, Меркурий нельзя будет наблюдать: _● - _⊙ = 0. Конфигурация ●₃ – верхнее соединение.

г . Продолжая свое движение по орбите, Меркурий займет положение ●₄, при котором угол ⊙●₄⊕ = 90. Центр диска планеты будет проецироваться на небесную сферу в точку 4●, расположенную на угловое расстояние  восточнее (E) центра солнечного диска, то есть _● - _⊙ = . Наблюдать планету можно вечером в западной стороне неба после захода Солнца. Утром над горизонтом Меркурий появится в лучах уже взошедшего Солнца, и наблюдать его можно только с помощью специальных инструментов. Конфигурация ●₄ – восточная элонгация – наибольшее восточное угловое “удаление” планеты от Солнца на небесной сфере.

Аналогичные конфигурации имеет и планета Венера, однако условия для наблюдений этой планеты в моменты западной и восточной элонгаций существенно лучше, чем при наблюдении Меркурия, так как. Венера “удаляется” от Солнца на небесной сфере на большее угловое расстояние. Из-за эллиптичности орбит Земли и нижних планет угловое удаление планет от центра солнечного диска в моменты элонгаций может иметь величину, лежащую в пределах: для Меркурия 17,628,3, для Венеры 45,047,8.

2. Для верхних планет также различают четыре конфигурации: соединение, западная квадратура, противостояние, восточная квадратура. Рассмотрим конфигурации верхних планет на примере движения по орбите планеты Марс.

Н а рис. 2: ⊙ – Солнце, ⊕ и ● – Земля и Марс на своих орбитах. И Земля, и Марс обращаются вокруг Солнца в прямом направлении, в направлении, совпадающем с направлением осевого вращения Земли (указано стрелкой). Положение Земли на рисунке фиксировано: для Марса стрелкой указано относительное движение – оно будет противоположно направлению действительного движения планеты. Штриховая окружность – небесная сфера с центром в точке наблюдения на поверхности Земли. 1●⊙, 2●, 3● и 4● – проекции центров дисков Солнца и Марса на небесную сферу.

а. В положении ●₁ Марса на орбите Солнце находится между Марсом и Землей. Для наземного наблюдателя центры дисков Солнца и Марса на небесной сфере “соединяются”, то есть проецируются в одну и ту же точку небесной сферы 1●⊙. Эклиптикальные геоцентрические долготы Марса и Солнца равны, то есть _⊙ - _● = 0. Планету наблюдать нельзя, так как Солнце и Марс восходят одновременно в восточной стороне неба. Конфигурация ●₁ – соединение.

б. Так как угловая скорость движения Земли по орбите больше угловой скорости движения Марса, Земля будет догонять планету. Марс займет на орбите положение ●₂. Угол ⊙⊕●₂, то есть угол с вершиной в центре Земли и сторонами Земля- Солнце и Земля-Марс, равен 90. Центр диска планеты проецируется на небесную сферу в точку 2●, расположенную на 90 западнее (W) проекции на небесную сферу центра солнечного диска: _⊙ - _● = 90. Планета будет видна в восточной стороне неба всю вторую половину ночи до восхода Солнца. Конфигурация ●₂ – западная квадратура (название “квадратура” происходит от “четверть круга”).

в. В положении ●₃ Марса на орбите центр диска планеты проецируется в точку 3● небесной сферы, расположенную в 180 от проекции центра солнечного диска. Солнце и Марс находятся в противоположных точках неба, “противостоят” друг другу: _⊙ - _● = 180. Планета восходит над горизонтом сразу после захода Солнца и видна всю ночь. Конфигурация ●₃ – противостояние.

г. В положении ●₄ Марса на орбите угол ⊙⊕●₄ равен 90, то есть центр диска планеты проецируется в точку 4● небесной сферы, расположенную на 90 к востоку (E) от проекции центра диска Солнца: _● - _⊙ = 90. Марс будет виден после захода Солнца всю первую половину ночи в западной стороне неба. Конфигурация ●₄ – восточная квадратура.

3. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями планетой одноименной конфигурации называется синодическим периодом S планеты.

Полный оборот планеты вокруг Солнца относительно какой-либо звезды называется сидерическим или звездным периодом Т планеты. Полный оборот Земли вокруг Солнца относительно какой-либо звезды (или какой-либо точки небесной сферы) называется сидерическим или звездным годом Т_. Понятно, что для Земли понятие синодического периода не имеет смысла. Из-за прецессии земной оси вращения точка весеннего равноденствия  движется навстречу видимому движению центра солнечного диска по небесной сфере со скоростью v  50 в год, поэтому сидерический год Т_ продолжительнее тропического года Т примерно на 20^m.

Т_ = 365,257… средних солнечных суток.

Поясняя понятие “конфигурация планета”, мы фиксировали положение Земли на орбите, то есть рассматривали движение нижних и верхних планет вокруг Солнца относительно Земли. Таким образом, если сидерические периоды планет и Земли включают в себя только движение по своим орбитам, то синодический период любой планеты содержит в себе два движения: движение планеты по своей орбите и движение Земли по своей орбите. Отсюда, учитывая, что угловые скорости нижних планет больше угловой скорости движения Земли, а последняя, в свою очередь, больше угловых скоростей внешних планет, можем получить для любой планеты связь между синодическим периодом и сидерическим периодом:

1/S_пл = 1/T_пл - 1/T_ – для нижних планет (1)

1/S_пл = 1/T_ - 1/T_пл – для верхних планет (2)

Синодический период S_пл планеты и сидерический период Т_ получаются из наблюдений, сидерический период Т_пл планеты рассчитывается по формуле (1) или (2). Уравнения (1) и (2) – уравнения синодического движения.

4. Законы Кеплера.

Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых, общем для всех орбит, находится Солнце.

Н а рис. 3а – эллиптическая орбита планеты: f₁ и f₂ – фокусы эллиптической орбиты. Если Солнце ⊙ находится в фокусе f₂, то точка П – перигелий (наиболее близкая к Солнцу точка орбиты), а Пf₂ = q – перигелийное расстояние планеты; точка А – афелий (наиболее удаленная от Солнца точка орбиты), а Аf₂ = Q – афелийное расстояние планеты. За среднее расстояние а планеты от Солнца принимается большая полуось орбиты:

a = (Q + q)/2. (3)

Очевидно, что a определяет размер орбиты. Форма орбиты определяется эксцентриситетом e:

e = Of₁/OA, или e = c/a, (4)

где c – расстояние фокуса орбиты от центра эллипса.

Расстояние планеты от Солнца в перигелии и афелии равны соответственно:

q = a(1 – e), Q = a(1 + e). (5)

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равновеликие площади.

На рис. 3б изображены положения планеты на орбите в некоторые моменты времени t₁, t₂ , t₃ и t₄. Солнце ⊙ расположено в одном из фокусов орбиты. Отрезок прямой, соединяющий центр Солнца с планетой на орбите, называется радиусом-вектором планеты. На рисунке ⊙t₁, ⊙t₂, ⊙t₃ и ⊙t₄ – положения радиуса-вектора в соответствующие моменты времени. Из второго закона Кеплера следует, что, если промежутки времени ∆t₁ = t₂ - t₁ и ∆t₂ = t₄ - t₃ равны, то равновелики площади S₁ и S₂, которые описывает радиус-вектор: если ∆t₁ = ∆t₂, то S₁ = S₂.

Следовательно, планета движется по орбите вокруг Солнца неравномерно. Из рис. 3б видно, что с уменьшением радиуса-вектора r планеты, то есть при приближении планеты к перигелию П, ее скорость увеличивается. И наоборот, при увеличении радиуса-вектора, то есть при приближении планеты к афелию А, ее скорость уменьшается.

Если v_к – круговая средняя скорость планеты (скорость при r = a), v_max –максимальная скорость планеты (скорость при r = q) и v_min – минимальная скорость планеты на орбите (скорость при r = Q), то справедливы соотношения:

, (6)

Здесь G – гравитационная постоянная, М_сол – масса Солнца, М_пл – масса планеты.

Третий закон Кеплера. Отношение квадратов сидерических периодов Т обращений планет вокруг Солнца равно отношению кубов больших полуосей а их орбит. Если Т₁, Т₂, а₁ и а₂ соответственно сидерические периоды и большие полуоси орбит двух планет, то справедливо соотношение:

, или . (7)

Соотнесем движение какой-либо планеты вокруг Солнца с движением Земли вокруг Солнца, то есть положим в формуле (7) а₁ = а_пл, Т₁ = Т_пл, а₂ = а_ = 1 а.е., Т₂ = Т_ = 1 год. Тогда:

а³_пл = Т²_пл, (8)

причем значения а_пл и Т_пл также получим либо в астрономических единицах (для а_пл), либо в годах (для Т_пл).

5. Закон всемирного тяготения Ньютона. Любые две частицы притягиваются друг к другу с силами, величина которых прямо пропорциональна произведению масс частиц и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Силы, с которыми частицы притягивают друг друга, приложены к центрам масс частиц, расположены на прямой, соединяющей центры масс частиц, равны по величине и направлены навстречу друг другу.

Если М_⊙ – масса Солнца, М_пл – масса планеты, а –расстояние планеты от Солнца, то Солнце и планета притягивают друг друга с силой

F = G(М_⊙М_пл)/а². (9)

Ускорения, которые получают планета от Солнца w_пл и Солнце от планеты w_⊙, равны соответственно:

w_пл = GМ_⊙/а², w_⊙ = GМ_пл/а². (10)

Относительное ускорение w_отн при относительном круговом движении планеты по орбите вокруг Солнца вычисляется по формуле

w_отн = G(М_⊙+ М_пл)/а²_пл, или w_отн = 4²а_пл/T²_пл. (11)

Открытие Ньютоном закона всемирного тяготения позволило уточнить формулировки законов Кеплера.

Уточненный первый закон Кеплера можно сформулировать так: под действием силы тяготения небесные тела движутся вокруг центра масс по одной из кривых второго порядка – окружности, эллипсу, параболе или гиперболе.

Из (11) можно получить третий обобщенный закон Кеплера:

a³_пл/T²_пл(М_⊙+ М_пл) = G/4² = const. (12)

Выражения (11) и (12) справедливы для любой пары гравитирующих тел. Из (12) следует, что, если, например, мы имеем две планеты, которые движутся по орбитам вокруг Солнца, то

a³_пл1/T²_пл1(М_⊙+ М_пл1) = a³_пл2/T²_пл2(М_⊙+ М_пл2). (13)

Значение гравитационной постоянной G зависит от выбранной системы единиц:

в системе CGS (см., г, с): G = 6,66810^-8см³г^-1с^-2;

в системе СИ (м, кг, с): G = 6,66810^-11м³∙кг^-1с^-2;

в гауссовой или астрономической системе (а.е., М_⊙, ср. солн. сутки): G = K² = 2,95910^-4 , где K = 1,720210^-2 – гауссова постоянная.

Если нам известна круговая скорость v_к, то значение параболической скорости v_п можно получить по формуле:

v_п = v_к2^1/2 =.1,414v_к. (14)

Если R_пл – радиус планеты, то ускорение силы тяжести g на поверхности планеты равно:

g = GМ_пл/R²_пл. (15)

Критическая скорость v_кр, при которой тело массой m << М_пл покидает планету и удаляется от нее по параболе, связана с ускорением силы тяжести g соотношением:

v_кр = (2gR_пл)^1/2. (16)