II. Методика решения задач по теме “Движение планет. Законы Кеплера”

Методику решения задач по теме “Движение планет. Законы Кеплера” продемонстрируем на решении типовых задач.

Задача 1. Определить промежуток времени между двумя последовательными противостояниями планеты Плутон, если сидерический период планеты Т_Плут равен 248,6 лет.

Решение: Дано: Т_Плут = 248,6 лет. Требуется найти S_Плут.

Так как Плутон – верхняя планета, то для решения задачи используем формулу (2). Принимая T_ = 1 год, получим:

S_Плут = Т_ПлутT_/(Т_Плут - T_) = 248,61/(248,6 - 1) = 1,004 г.

Ответ: S_Плут = 1,004 года.

Задача 2. Определить наименьшую и наибольшую элонгации планеты Меркурий, если большая полуось орбиты Меркурия 0,387 а.е., эксцентриситет орбиты 0,2066, большая полуось орбиты Земли 1а.е., эксцентриситет орбиты Земли 0,0167.

Решение: Дано: а_Мер = 0,387 а.е., е_Мер = 0,2066, а_ = 1 а.е., е_ = 0,0167. Найти: Θ_Мер,max, Θ _Мер,min.

Из рис. 1 видно, что элонгация Меркурия будет наименьшей тогда, когда в момент элонгации Меркурий будет в перигелии, а Земля в афелии. Воспользовавшись формулами (5), запишем:

q_Мер = a_Мер(1 - e_Мер); Q_ = а_(1 + е_);

Из треугольника ⊙●₂:

sin Θ_Мер,min = (⊙●₂)/( ⊙) = a_Мер(1 - e_Мер)/а_(1 + е_) = 0,387(1 - 0,2066)/1(1 + 0,0167) = 0,3070/1,0167= 0,3020;

Θ_Мер,min = 17,6.

Элонгация Меркурия будет наибольшей тогда, когда в момент элонгации Меркурий будет в афелии, а Земля в перигелии.

Θ_Мер,max = a_Мер(1 + e_Мер); q_ = а_(1 - е_);

Из треугольника ⊙●₂:

sin Θ_Мер,max = a_Мер(1 + e_Мер)/а_(1 - е_) = 0,387(1 + 0,2066)/1(1 - 0,0167) = 0,4670/0,9833 = 0,4749;

Θ_Мер,max = 28,3.

Ответ: Θ_Мер,min = 17,6, Θ_Мер,max = 28,3.

Задача 3. Определить наименьшее и наибольшее расстояния между Землей и Плутоном, если большая полуось земной орбиты 1 а.е., эксцентриситет земной орбиты 0,0167, большая полуось орбиты Плутона 39,44 а.е., эксцентриситет орбиты Плутона 0,247.

Решение: Дано: а_ = 1 а.е., е_ = 0,0167, a_Плут = 39,48 а.е., e_Плут = 0,249. Требуется определить Δ_Плут,min, Δ_Плут,max.

Из рис. 2 видно, что расстояние между Землей и Плутоном будет минимальным тогда, когда Земля будет находиться в афелии, а Плутон в перигелии и противостоянии. Учитывая формулы (5), можем записать:

Δ_Плут,min = q_Плут - Q_ = a_Плут(1 - e_Плут) - a_(1 + e_),

Δ_Плут,min = 39,480,751 - 11,0167 = 28,63 а.е.

Расстояние между Землей и Плутоном будет максимальным тогда, когда Земля будет находиться в афелии, а Плутон в афелии и соединении.

Δ_Плут,max = Q_Плут + Q_ = a_Плут(1 + e_Плут) + a_(1 + e_),

Δ_Плут,max = 39,481,249 + 11,0167 = 50,33 а.е.

Ответ: Δ_Плут,min = 28,63 а.е., Δ_Плут,max = 50,33 а.е.

Задача 4. Круговая скорость движения Земли по орбите 29,78 км/с. Найти минимальную и максимальную скорости движения Земли по орбите, если эксцентриситет орбиты Земли 0,0167.

Решение: Дано: v_к = 29,78 км/с, e_ = 0,0167. Найти v_min, v_max.

Воспользуемся формулами (6):

v_min = v_к[(1 - e_)/(1 + e_)]^1/2 = 29,780,9834 = 29,29 км/с;

v_max = v_к[(1 + e_)/(1 - e_)]^1/2 = 29,781,0168 = 30,28 км/с;

Ответ: v_min = 29,29 км/с, v_max = 30,28 км/с.

Задача 5. Максимальное расстояние планеты Меркурий от Солнца 0,467 а.е. Чему равен сидерический период планеты, если эксцентриситет орбиты Меркурия 0,2066.

Решение: Дано: Q_Мерк = 0,467 а.е., е_Мерк = 0,2066. Найти Т_Мерк.

Для решения воспользуемся соотношениями (5) и (8):

Q_Мерк = a_Мерк(1 + e_Мерк);

a_Мерк = Q_Меркк/(1 + e_Мерк) = 0,467/1,2066 = 0,387 а.е ;

Т_Мерк = (a_Мерк)^3/2 = 0,24 года.

Ответ: Т_Мерк = 0,24 года = 87,9 ср. солн. cуток.

Задача 6. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60R_. Отношение масс Земли и Луны равно 81:1. В какой точке прямой, проведенной между центрами планет, какое-либо тело m будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой?

Р ешение: Дано: Δ = 60R_, M_/M_Лун = 81/1. Найти r₁. (см. рис. 4)

Воспользуемся для решения формулой (15):

Ускорение, которое получает тело m от притяжения Землей:

g₁ = GM_/r₁² ,

Ускорение, которое получает тело m от притяжения Луной:

g₂ = GM_Лун/(Δ - r₁)², = GM_Лун/(60R_ - r₁)².

В искомой точке эти ускорения равны, то есть g₁ = g₂.

GM_/r₁² = GM_Лун/(60R_ - r₁)²,

M_/M_Лун = r₁²/(60R_ - r₁)²,

81 = r₁²/(60R_ - r₁)²,

9 = r₁/(60R_ - r₁), 9(60R_ - r₁) = r₁,

540R_ = 10r₁, r₁ = 54R_.

Ответ: Искомое расстояние равно 54R_ от центра Земли.

Задача 7. Среднее расстояние спутника Марса Фобоса 9,410³ км. Сидерический период обращения Фобоса 0,3189 суток. Найти массу планеты Марс в массах Земли. Воспользоваться данными о системе Земля-Луна.

Решение: Дано: а_Фоб = 9,410³ км, Т_Фоб = 0,3189 сут., а_Лун = 3,84410⁵ км, Т_Лун = 27,3117 сут., М_/M_Лун = 81,3. Найти М_Марс в М_.

Для решения воспользуемся третьим законом Кеплера (13):

а³_Фоб/T²_Фоб(M_Марс + M_Фоб) = a³_Лун/T²_Лун(M_ + M_Лун).

Так как М_Лун = 0,0123М_, М_Фоб << M_Марс, то

а³_Фоб/T²_Фоб M_Марс = a³_Лун/T²_Лун(M_ + 0,0123М_) =

= a³_Лун/1,0123T²_ЛунM_, откуда

M_Марс = 1,0123(T_Лун/T_Фоб)²(а_Фоб /a_Лун)³M_ =

= 1,0123(27,3117/0,3189)²(9,410³/3,84410⁵)³M_ =0,108M_.

Ответ: M_Марс = 0,108M_.