Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе

Цех	Время на единицу продукции				Максимальная производительность, ч/мес.
	“Юпитер”	“Венера”	“Марс”	“Сатурн”
Узловой сборки Сборочный Испытательный	5 2 0,1	8 3 0,2	20 8 2	25 14 4	800 420 150
Максимальное прогнозное значение спроса за месяц	100	45	25	20
Доход, ф.ст.	15	30	120	130

Шаг 2. Какова цель задачи? Каковы ограничения на производственный процесс? Цель состоит в максимизации общего дохода за месяц. Объем производства ограничен размером фонда рабочего времени по каждому цеху и возможностью продажи компьютеров каждой модели.

Шаг 3. Целевая функция задачи. Пусть Р (ф. ст.) — общий доход в месяц, тогда:

Р = 15 j + 30 v + 120 m + 130 s (ф. ст. в месяц).

Шаг 4. Ограничения на производственный процесс. Для каждого цеха время, требуемое для производства j, v, m их единиц продукции соответствующих моделей увязывается с максимальной производственной мощностью данного цеха.

Цех узловой сборки: 5j + 8v +20m+25s 800 (ч/мес.)

Сборочный цех: 2j + 3v + 8m+14s 420 (ч/мес.)

Испытательный цех: 0,1 j + 0,2 v+2m+4s 150 (ч/мес.)

Спрос на "Юпитер": j 100 (ед./мес.)

Спрос на "Венеру": v 45 (ед./мес.)

Спрос на "Марс": m 25 (ед./мес.)

Спрос на "Сатурн": s 20 (ед./мес.)

Условие неотрицательности: j, v, m, s 0

Окончательная формулировка задачи линейного программирования такова:

каждый месяц производится j, v, m и s единиц компьютеров типа "Юпитер", "Венера", "Марс" и "Сатурн" соответственно. Максимизировать:

Р = 15 j + 30 v + 120m + 130 s (ф. ст. в месяц)

в условиях ограничений, указанных выше.

1. Пример 1.4.. Менеджер по ценным бумагам намерен разместить 100000 ф. ст.

капитала таким образом, чтобы получать максимальные годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций: А, В, С и D. Объект А позволяет получать 6% годовых, объект В — 8% годовых, объект С — 10%, а объект D — 9% годовых. Для всех четырех объектов степень риска и условия размещения капитала различны. Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал, менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций необходимо вложить в объекты А и В. Чтобы обеспечить ликвидность, не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в объект D. Учитывая возможные изменения в политике правительства, предусматривается, что в объект С следует вкладывать не более 20% инвестиций, тогда как особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было вложено не менее 30% капитала. Сформулируем для изложенной проблемы распределения инвестиций модель линейного программирования.

Решение

Вкладывается а ф. ст. в объект А, b ф. ст. — в объект В, с ф. ст. — в объект C u d ф. ст. — в объект D. Целью является максимизация общей суммы годовых процентов с дохода. На распределение инвестиций наложены ограничения, связанные с отсутствием риска, ликвидностью, политикой правительства и системой налогообложения. Обозначим через R общую сумму годового процентного дохода, тогда:

R = 0,06 а + 0,08 b + 0,10 с + 0,09 d (ф. ст. в год).

Максимизация целевой функции осуществляется в условиях ограничений на

Общую сумму инвестиций: a+b+c+d 100000 ф. ст.

Отсутствие риска: а + b 0,05 (а + b -Р с + d)

Ликвидность : d 0,25 (а + b + с + d)

Правительственную политику: с 0,2 (а + b + с + d)

Систему налогообложения: а 0,3 (а + b + с + d) ,

Неотрицательность: а, b, с, d 0.

Чтобы решить задачу линейного программирования, ограничения обычно преобразовывают таким образом, чтобы переменные находились только в левой части любого неравенства. Результаты этого преобразования представлены ниже. Окончательная форма задачи линейного программирования имеет следующий вид:

Вкладывается а ф. ст. в объект А,

b ф. ст. в объект В,

с ф. ст. в объект С,

d ф. ст. в объект D.

Максимизируется общая сумма годового процентного дохода, т.е.:

R=0,06 а + 0 ,08 b + 0,10 с + 0,09 d (ф. ст. в год)

в условиях следующих ограничений (ф. ст.):

Общая сумма инвестиций: а + b + с + d 100000

Отсутствие риска: 0,5 а + 0,5 b - 0,5 с - 0,5 d 0

Ликвидность: - 0,25 а - 0,25 b - 0,25 с + 0,75d 0

Правительственная

политика: -0,2 a - 0,2 b + 0,8 с - 0,2 d 0

Система налогообложения: 0,7 а - 0,3 b - 0,3 с - 0,3 d 0

Условие неотрицательности: а, b, с, d 0

Во всех четырех приведенных выше примерах целевую функцию требовалось максимизировать. На стадии постановки задачи процедура не меняется, если целью является минимизация некоторого показателя. Примеры таких задач приводятся в конце данной главы.