Использование графического метода.

Граничная прямая, соответствующая ограничению для дефицитного ресурса, будет проходить через точку максимума.

В нашем примере максимальное значение целевой функции достигается в точке B – точке пересечения двух прямых L₂ и L₃ (см. рис. 6). Таким образом, ресурсы Р₂ и Р₃ следует считать дефицитными. В свою очередь ресурс Р₁ будет недефицитным.

Действительно, подставив значения координат точки В в ограничения задачи, получим значения расхода ресурсов:

для Р₁: х₁ + х₂ =4 + 2,4 = 6,4 £ 8 – израсходован не полностью;

для Р₂: 4х₁ + 10х₂ = 16 + 24 = 40 – израсходован полностью;

для Р₃: х₁ = 4 – израсходован полностью.

Использование симплекс-таблицы.

Статус ресурсов определяется по итоговой симплекс-таблице 1.39. Значения балансовых переменных содержат величину остатка соответствующего ресурса. Кроме того, положительное значение теневой цены ресурса свидетельствует о его дефицитности. У недефицитных ресурсов теневая цена равна нулю.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1) ресурс Р₁ является недефицитным, поскольку соответствующая ему остаточная переменная х₃ вошла в базис и равна 1,6 (величина избытка), а теневая цена y₁ = 0;

2) ресурс Р₂ является дефицитным, поскольку соответствующая ему остаточная переменная х₄ не вошла в базис и равна нулю (израсходован полностью), а теневая цена y₂ = 0,3 > 0;

3) ресурс Р₃ является дефицитным, поскольку соответствующая ему остаточная переменная х₅ не вошла в базис и равна нулю (израсходован полностью), а теневая цена y₃ = 0,8 > 0.

4. Запасы недефицитных ресурсов можно уменьшить на величину избытка без изменения значения целевой функции.

Действительно, как видно из рисунка 1.15, уменьшение запаса ресурса Р₁ (перемещение прямой L₁ вниз параллельно самой себе до точки В) не меняет области допустимых решений и, следовательно, оптимального значения целевой функции.

Максимальный расход ресурса Р₁ в точке В составляет 6,4 ед., т.е. величина избытка равна 8 – 6,4 = 1,6 ед. (балансовая переменная х₃ = 1,6).

Таким образом, запас недефицитного ресурса Р₁ можно уменьшить на величину 1,6 ед. Запасы дефицитных ресурсов уменьшать не следует, так как это приведет к ухудшению значения целевой функции.

5. Как было отмечено выше, дефицитный ресурс израсходован полностью. Следовательно, его нехватка сдерживает производственный процесс, и необходимым является увеличение запаса такого ресурса с целью улучшения значения целевой функции. Однако рост запасов дефицитного ресурса не является беспредельным: наступает момент, когда уже другой ресурс выступает в качестве сдерживающего фактора, а данный переходит в разряд недефицитных. Поэтому запас дефицитного ресурса не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение становится избыточным.

Таким образом, актуальной является задача определения максимального приращения каждого из дефицитных ресурсов.

Использование графического метода.

Увеличивая запас дефицитного ресурса Р₂ (перемещая прямую L₂ вверх параллельно самой себе), можно определить максимальное значение запаса второго ресурса. Как видно из рисунка 1.15, при перемещении прямой L₂ точка максимума целевой функции будет вначале смещаться вдоль прямой L₃ до точки D(4; 4), а затем вдоль прямой L₁ до точки G(0; 8). Дальнейшее перемещение прямой L₂ не будет изменять области допустимых решений и влиять на значение целевой функции.

Таким образом, максимально допустимый запас ресурса Р₂ равен

4х₁ + 10х₂ = 4 ´ 0 + 10 ´ 8 = 0 + 80 = 80.

Значение целевой функции в точке G(0; 8) составит

2х₁ + 3х₂ = 2 ´ 0 + 3 ´ 8 = 0 + 24 = 24.

Следует, однако, заметить, что при смещении точки максимума от точки D до точки G дефицитными будут уже ресурсы Р₁ и Р₂, в то время как ресурс Р₃ станет недефицитным.

Если же рассматривать увеличение запаса ресурса Р₂ при сохранении первоначального статуса всех ресурсов, то следует учитывать движение прямой L₂ только до точки D(4; 4). При этом максимально допустимый запас ресурса Р₂ будет равен

4х₁ + 10х₂ = 4 ´ 4 + 10 ´ 4 = 16 + 40 = 56.

Значение целевой функции в точке D(4; 4) составит

2х₁ + 3х₂ = 2 ´ 4 + 3 ´ 4 = 8 + 12 = 20.

Увеличивая запас дефицитного ресурса Р₃ (перемещая прямую L₃ вправо параллельно самой себе), можно определить максимальное значение запаса третьего ресурса. Как видно из рисунка 1.15, при перемещении прямой L₃ точка максимума целевой функции будет смещаться вдоль прямой L₂ до точки E(20/3; 4/3). Дальнейшее перемещение прямой L₃ до точки K(8; 0) хоть и будет изменять область допустимых решений, но влиять на значение целевой функции уже не будет.

Таким образом, максимально допустимый запас ресурса Р₃ равен

х₁ = 20/3.

Значение целевой функции в точке E(20/3; 4/3) составит

2х₁ + 3х₂ = 2 ´ 20/3 + 3 ´ 4/3 = 40/3 + 12/3 = 52/3.