Задачи для решения

6. Найти решение задач двойственным симплекс – методом.

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

6.11. 6.12.

6.13. 6.14.

1.6. Экономическая интерпретация двойственности

1.6.1. Анализ моделей на чувствительность.

Анализ моделей на чувствительность проводится после получения оптимального решения. Он позволяет выявить чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели. Например, в задаче об ассортименте продукции может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса на продукцию или запасов исходного сырья. Также может потребоваться анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение.

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследователю проанализировать влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Отсутствие методов, позволяющих выявить влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еще до своей реализации.

Для проведения анализа модели на чувствительность могут быть использованы графические методы или итоговая симплекс-таблица.

Основные задачи анализа на чувствительность:

1. Анализ изменений запасов ресурсов позволяет ответить на два вопроса:

а) На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции?

б) На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции?

Если какой-либо ресурс используется полностью, его относят к разряду дефицитных ресурсов. Имеющиеся в некотором избытке ресурсы следует отнести к недефицитным.

Таким образом, объем дефицитного ресурса не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение становится избыточным. Объем недефицитного ресурса можно уменьшить на величину избытка.

2. Определение наиболее выгодного ресурса дает возможность определить, какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств. Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса

. (1.22)

3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции делает возможным исследование следующих вопросов:

а) Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?

б) На сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным, и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным?

Рассмотрим решение конкретной задачи линейного программирования от постановки до экономического анализа.

Пример 18.

Производственное предприятие может изготавливать два вида продукции П₁ и П₂, для изготовления которой используются три типа ресурсов Р₁, Р₂, Р₃. Максимально допустимые суточные запасы ресурсов предприятия ограничены соответственно величинами b₁ = 8, b₂ = 40, b₃ = 4. Удельный расход каждого типа ресурсов для изготовления отдельного вида продукции соответственно составляет a₁₁ = 1, a₁₂ = 1, a₂₁ = 4, a₂₂ = 10, a₃₁ = 1, a₃₂ = 0 единиц. Отпускная цена единицы продукции 1-го вида равна c₁ = 2 ден. ед., 2-го вида – c₂ = 3 ден. ед. Найти объем выпуска продукции каждого вида, максимизирующий суммарный доход производственного предприятия.

1. Построить математическую модель и найти симплексным методом оптимальное решение задачи.

2. Построить математическую модель двойственной задачи и найти ее оптимальное решение.

3. Указать статус ресурсов.

4. Определить, на сколько можно уменьшить запасы недефицитных ресурсов.

5. Определить максимальное приращение дефицитных ресурсов.

6. Определить наиболее выгодный ресурс.

7. Оценить целесообразность приобретения b₂ = 10 единиц 2-го ресурса стоимостью r₂ = 5 ден. ед.

8. Установить целесообразность ввода в производство нового вида продукции П₃, удельный расход ресурсов Р₁, Р₂, Р₃ на изготовление которой составляет a₁₃ = 2, a₂₃ = 7, a₃₃ = 3 единиц, а отпускная цена готовой продукции равна c₃ = 5 ден. ед.

9. Привести пример анализа на чувствительность оптимального решения к изменению произвольного коэффициента целевой функции.

Р е ш е н и е

1. Обозначим через x₁ и x₂ – объемы выпуска производственным предприятием продукции П₁ и П₂ соответственно. Тогда математическая модель задачи примет вид (1.1)-(1.5):

,

х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.