- •№1. Случайные события. Классификация. Действия над событиями.
- •№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
- •№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.
- •№4. Теорема сложения. Следствия.
- •Теорема доказана.
- •№7. Формула полной вероятности и формула Байеса. Примеры.
- •№8. Схема независимых испытаний Бернулли. Теорема Пуассона. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •№9. Случайная величина. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.
- •№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.
- •№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.
- •№16. Нормальный случайный вектор.
- •№17. Условные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.
- •№20. Ряд распределения функции дискретной случайной величины.
- •№21. Плотность вероятности функции случайной величины при заданной плотности вероятности аргумента. Закон распределения суммы случайных величин. Пример.
- •24. Распределения , Стьюдента (Госсета), Фишера. Их характеристики и свойства.
- •№27. Случайная выборка и генеральная совокупность. Закон распределения выборки.
- •№28. Оценка вероятности события. Оценка функции распределения. Оценка плотности вероятностей.
- •№29. Выборочные моменты. Несмещённость выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещённость выборочной дисперсии как оценки теоретической дисперсии.
- •№30. Точечные оценки и их свойства.
- •№31. Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности Рао-Крамера.
- •№37. Критерий согласия . Пример.
24. Распределения , Стьюдента (Госсета), Фишера. Их характеристики и свойства.
Распределение .
Рассмотрим гамма распределение (описывает времена безотказной работы различных технических устройств) с плотностью , где – гамма-функция Эйлера.
Если , где – нечётное число, а , то гамма-распределение превращается в распределение (хи-квадрат). Параметр называют в этом случае числом степеней свободы распределения .
Распределение Стьюдента (Госсета).
Распределением Стьюдента ( ) называют распределение с плотностью .
Распределение Фишера (Снедекора).
Пусть независимые случайные величины и имеют распределение с и степенями свободы соответственно. Распределением Фишера ( ) называется распределение случайной величины , плотность которого выражается следующей формулой: .
№27. Случайная выборка и генеральная совокупность. Закон распределения выборки.
Математическая статистика – раздел прикладной математики, посвящённый методам систематизации и анализа статистических данных с целью построения вероятностной модели случайных явлений, а также уточнения их параметров.
Сопоставляя задачи теории вероятностей и математической статистики, можно говорить о том, что задачи математической статистики являются теоретически обработанными выводами теории вероятностей. В задачах теории вероятностей, как правило, вероятностная модель дана, и необходимо по одним её параметрам получить другие. В задачах математической статистики неизвестна либо вся вероятностная модель, либо её параметры, и необходимо, основываясь на статистических данных, получить неизвестные части вероятностной модели или вынести определённые суждения о них.
Таким образом исходными для задач математической статистики являются статистические данные, которые как правило имеют численную природу. Статистические данные получаются в результате статистического эксперимента, заключающегося в измерении значения некоторой случайной величины. Результаты измерений записываются последовательно.
– выборка объёма , – элементы выборки. – многомерная случайная величина, т.к. результат измерения заранее предсказать нельзя. В результате конкретного измерения получается реализация выборки , где – выборочные значения.
Необходимым условием решения задач математической статистики является условие репрезентативности, т.е. выборка должна отражать закон распределения случайной величины.
– генеральная совокупность (множество всех возможных выборочных значений). Выборка взята из генеральной совокупности , если она получена из измерения случайной величины .
– закон распределения выборки. В случае независимости измерений .
Если выборка репрезентативна, то каждый её элемент имеет то же распределение, что и наблюдаемая случайная величина: .
По умолчанию считаем измерения независимыми.
№28. Оценка вероятности события. Оценка функции распределения. Оценка плотности вероятностей.
Оценка вероятности события.
Пусть – случайное событие. Необходимо построить оценку вероятности .
, тогда .
– оценка, – значение оценки.
Оценка функции распределения.
Дана выборка из . Необходимо оценить .
Сначала функция распределения представляется в виде . Т.о. задачу можно свести к оценке вероятности события:
, тогда – оценка функции распределения, – эмпирическая функция распределения.
1. Если все выборочные значения различны, то функцию можно записать в следующем виде: , т.е. в каждой точке функция имеет скачок величиной . На рисунке изображён график функции :
2. Группированная выборка. – непрерывная случайная величина, – достаточно большое число. Разобьём множество значений на интервалы , получим группированную выборку:
Номер интервала |
|
|
|
|
Сам интервал |
|
|
|
|
Количество знач. |
|
|
|
|
; .
Оценка плотности вероятностей.
, , а с другой стороны – формула конечных приращений Лагранжа.
, .
, где , – длина отрезка.
– оценка плотности распределения.
График плотности распределения (гистограмма) изображён на рисунке: