- •№1. Случайные события. Классификация. Действия над событиями.
- •№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
- •№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.
- •№4. Теорема сложения. Следствия.
- •Теорема доказана.
- •№7. Формула полной вероятности и формула Байеса. Примеры.
- •№8. Схема независимых испытаний Бернулли. Теорема Пуассона. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •№9. Случайная величина. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.
- •№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.
- •№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.
- •№16. Нормальный случайный вектор.
- •№17. Условные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.
- •№20. Ряд распределения функции дискретной случайной величины.
- •№21. Плотность вероятности функции случайной величины при заданной плотности вероятности аргумента. Закон распределения суммы случайных величин. Пример.
- •24. Распределения , Стьюдента (Госсета), Фишера. Их характеристики и свойства.
- •№27. Случайная выборка и генеральная совокупность. Закон распределения выборки.
- •№28. Оценка вероятности события. Оценка функции распределения. Оценка плотности вероятностей.
- •№29. Выборочные моменты. Несмещённость выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещённость выборочной дисперсии как оценки теоретической дисперсии.
- •№30. Точечные оценки и их свойства.
- •№31. Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности Рао-Крамера.
- •№37. Критерий согласия . Пример.
№20. Ряд распределения функции дискретной случайной величины.
Рассмотрим на вероятностном пространстве двумерный случайный вектор и числовую функцию числовых аргументов и .
Случайную величину называют функцией (скалярной) от двумерной случайной величины (двумерного случайного вектора) . Функция от двумерной дискретной случайной величины является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностью , где и – значения случайных величин и соответственно.
Чтобы построить ряд распределения дискретной случайной величины , необходимо, во-первых, не учитывать все те значения , вероятность принять которые случайной величине равна нулю, а во-вторых, объединить в один столбец все одинаковые значения случайной величины , приписав этому столбцу суммарную вероятность.
Пример: Пусть – случайная величина, равная суммарному числу успехов в двух испытаниях по схеме Бернулли, а – число успехов в испытании, . Тогда и . Заметим, что двум средним столбцам соответствует одно и то же значение 1 случайной величины , и их следует объединить. Окончательно получаем ряд распределения случайной величины , представленный в следующей таблице:
№21. Плотность вероятности функции случайной величины при заданной плотности вероятности аргумента. Закон распределения суммы случайных величин. Пример.
Пусть – двумерная непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Функцию распределения случайной величины можно найти по формуле: (1), где область интегрирования состоит из всех значений и , для которых .
– плотность распределения функции .
Пусть , где и – независимые случайные величины, тогда по формуле (1) находим: .
Дифференцируя последнюю формулу по под знаком интеграла, получаем (с учётом переобозначения ) выражение для плотности распределения суммы и : (2). В этом случае говорят, что плотность распределения случайной величины является свёрткой (композицией) плотностей распределения и слагаемых и или что закон распределения суммы двух независимых случайных величин является свёрткой (композицией) законов распределения слагаемых. Соотношение (2) условно записывают в виде .
Формулу (2) называют формулой свёртки для плотностей распределения случайных величин и .
Пример: Пусть и – независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону со средними значениями и и средними квадратичными отклонениями и . Найдём плотность распределения суммы .
Воспользовавшись формулой свёртки, имеем: .
Делая теперь замену , получаем: .
Таким образом, случайная величина также распределена по нормальному закону с параметрами и , т.е. композиция плотностей нормальных законов распределения является плотностью нормального закона распределения.
№22. Характеристическая функция и её свойства.
Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание случайной величины : . Если есть функция распределения величины , то характеристическая функция равна: .
Свойства:
Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям: ;
Если , где и – постоянные, то .
Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций.
№23. Характеристическая функция и моменты случайной величины.
Характеристическая функция.
Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание случайной величины : . Если есть функция распределения величины , то характеристическая функция равна: .
Моменты случайной величины.
Начальным моментом порядка системы называется величина .
Центральным моментом порядка системы называется величина , где .
Расчётные формулы для определения моментов:
а) Для дискретных случайных величин.
б) Для непрерывных случайных величин.
,
, где – плотность распределения системы.
Корреляционным моментом двух случайных величин называется центральный момент порядка , т.е. (второй смешанный центральный момент): .