- •№1. Случайные события. Классификация. Действия над событиями.
- •№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
- •№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.
- •№4. Теорема сложения. Следствия.
- •Теорема доказана.
- •№7. Формула полной вероятности и формула Байеса. Примеры.
- •№8. Схема независимых испытаний Бернулли. Теорема Пуассона. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •№9. Случайная величина. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.
- •№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.
- •№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.
- •№16. Нормальный случайный вектор.
- •№17. Условные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.
- •№20. Ряд распределения функции дискретной случайной величины.
- •№21. Плотность вероятности функции случайной величины при заданной плотности вероятности аргумента. Закон распределения суммы случайных величин. Пример.
- •24. Распределения , Стьюдента (Госсета), Фишера. Их характеристики и свойства.
- •№27. Случайная выборка и генеральная совокупность. Закон распределения выборки.
- •№28. Оценка вероятности события. Оценка функции распределения. Оценка плотности вероятностей.
- •№29. Выборочные моменты. Несмещённость выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещённость выборочной дисперсии как оценки теоретической дисперсии.
- •№30. Точечные оценки и их свойства.
- •№31. Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности Рао-Крамера.
- •№37. Критерий согласия . Пример.
№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.
Классическое определение вероятности.
Пусть всего элементарных исходов, – число исходов, благоприятствующих событию . Тогда – вероятность.
– число сочетаний. Если опыт состоит в выборе элементов из без упорядочения и без возвращения, то общее число элементарных исходов в опыте будет равно количеству различных комбинаций, отличных друг от друга, по крайней мере, одним составом элементов.
– число размещений без повторений. Если опыт состоит в выборе элементов из без возвращения, но с упорядочением элементов по мере их поступления, то количество элементарных исходов равно числу комбинаций, отличных друг от друга либо порядком следования элементов, либо их составом (но один и тот же элемент встречается в группе не более одного раза).
– число размещений с повторениями. Если опыт состоит в выборе элементов из с возвращением и упорядочением элементов по мере их поступления, то общее число исходов опыта равно количеству комбинаций, отличающихся друг от друга составом элементов, либо порядком их следования (при этом один и тот же элемент может повторяться несколько раз).
Геометрическое определение вероятности.
Если множество элементарных исходов может быть представлено некоторой областью , а множество благоприятствующих событию исходов – подобластью , то .
Статистическое определение вероятности.
Рассмотрим опыт, в котором событие может появиться, а может и не появиться, и проведём этот опыт раз. Пусть раз событие произошло, тогда .
– сходимость по вероятности.
Вероятностью события называют (эмпирический) предел , к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа опытов.
№4. Теорема сложения. Следствия.
Теорема: . Для событий: .
Доказательство: пусть всего исходов.
Теорема доказана.
Следствие 1: если и несовместны, то .
Следствие 2:
Доказательство:
№5. Условная вероятность и её свойства. Теорема умножения вероятностей.
Говорят, что событие зависит от события , если его вероятность меняется, когда происходит событие .
Условная вероятность – это вероятность события , подсчитанная при условии, что произошло. ( – от при условии )
Если события и независимы, то .
Теорема:
Для событий: .
Доказательство: пусть всего исходов. благоприятствуют исходов, благоприятствуют исходов, – исходов. Пусть произошло, осталось исходов, из них благоприятствуют .
. Теорема доказана.
Следствие 1: если не зависит от , то .
Следствие 2: если зависит от , то зависит от .
№6. Независимость событий и независимость испытаний.
События и называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий
.
Свойство независимости событий взаимно, то есть если зависит от , то зависит от .
События и , имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда .
События называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных из их же числа события взаимно независимы. В силу теоремы умножения, это определение эквивалентно следующему: при любых и . Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости.
Рассмотрим опыт, состоящий в проведении двух испытаний. Эти испытания называются независимыми, если любые два события и , из которых определяется по исходу первого испытания, а – по исходу второго, являются независимыми.