№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.

_{Математическое ожидание случайной величины.}

_{– математическое ожидание (среднее значение случайной величины).}

_{Свойства математического ожидания:}

1. _{, где ;}

2. _;

3. _;

4. _{, если и независимы.}

_{Функции случайной величины.}

_{Пусть на вероятностном пространстве , где – , задана случайная величина . Рассмотрим действительную функцию действительного аргумента (область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины ).}

_{Случайную величину , которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие число , называют функцией от скалярной случайной величины .}

_{№13. Дисперсия и её свойства. Моменты случайной величины.}

_{Дисперсия и её свойства.}

_{– центрированная случайная величина (отклонение от ), .}

_{Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения от .}

_{Свойства дисперсии:}

1. _;

2. _{, где ;}

3. _;

4. _;

5. 

_{Доказательство: , ч.т.д.}

6. _{– ковариация ( , , когда независимы).}

_{– среднее квадратичное (квадратическое отклонение) случайной величины .}

_{– нормированная случайная величина.}

_{– стандартная случайная величина .}

_{Моменты случайной величины.}

_{Моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины : .}

_{Если , то момент называется начальным. Легко видеть, что начальный момент первого порядка есть математическое ожидание величины .}

_{Если , то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.}

_{Начальные моменты будем обозначать буквой , а центральные – буквой , указывая в обоих случаях нижним индексом порядок момента.}

_{– коэффициент асимметрии.}

_{– коэффициент эксцесса.}

_{Мода для дискретного распределения – точка с максимальной вероятностью, а для непрерывного – точка максимума распределения (плотность в ней достигает максимального значения): .}

_{– квантиль распределения порядка .}

_{– медиана распределения.}

_{Для НСВ квантиль определяется однозначно. Для ДСВ понятие квантили не рассматривается. Вероятность попадания величины слева и справа от медианы одинакова: .}

№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.

1. _{Нормальный закон (для НСВ).}

_{Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово) распределение, если её плотность . Нормальное распределение зависит от двух параметров: и среднего квадратического отклонения , .}

2. _{Равномерный закон (для НСВ).}

_{Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если её плотность распределения . В данном случае .}

3. _{Биномиальный закон (для ДСВ).}

_{Дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону, если она принимает значения в соответствии с распределением, заданным формулой . Здесь .}

4. _{Показательный закон (для НСВ).}

_{Случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если она имеет плотность распределения , где – параметр экспоненциального распределения; .}

5. _{Закон Пуассона (для ДСВ).}

_{ДСВ распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями ; .}