- •№1. Случайные события. Классификация. Действия над событиями.
- •№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
- •№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.
- •№4. Теорема сложения. Следствия.
- •Теорема доказана.
- •№7. Формула полной вероятности и формула Байеса. Примеры.
- •№8. Схема независимых испытаний Бернулли. Теорема Пуассона. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •№9. Случайная величина. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.
- •№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.
- •№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.
- •№16. Нормальный случайный вектор.
- •№17. Условные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.
- •№20. Ряд распределения функции дискретной случайной величины.
- •№21. Плотность вероятности функции случайной величины при заданной плотности вероятности аргумента. Закон распределения суммы случайных величин. Пример.
- •24. Распределения , Стьюдента (Госсета), Фишера. Их характеристики и свойства.
- •№27. Случайная выборка и генеральная совокупность. Закон распределения выборки.
- •№28. Оценка вероятности события. Оценка функции распределения. Оценка плотности вероятностей.
- •№29. Выборочные моменты. Несмещённость выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещённость выборочной дисперсии как оценки теоретической дисперсии.
- •№30. Точечные оценки и их свойства.
- •№31. Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности Рао-Крамера.
- •№37. Критерий согласия . Пример.
№1. Случайные события. Классификация. Действия над событиями.
Предметом изучения ТВ является закономерность в массовых случайных явлениях.
Явление называется массовым, если его, теоретически, можно наблюдать неограниченное количество раз в одинаковых условиях.
Исход случайного явления заранее не предопределён. Для описания случайных явлений строится математическая модель – вероятностная модель.
Опыт (эксперимент, наблюдение) – наблюдение некоторого явления при фиксированных условиях.
Факт, регистрируемый в результате опыта, называется событием.
Если факт был зарегистрирован, то говорят, что событие появилось, или возникло.
Случайное событие – событие, о котором заранее не известно, произойдёт оно или нет.
Случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами:
Классификация случайных событий.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в результате опыта ( );
Событие называется невозможным, если оно обязательно не произойдёт в результате опыта ( );
События называются несовместными, если они не могут происходить вместе в одном опыте;
Событие, противоположное – событие , состоящее в непоявлении события ;
События и называются благоприятствующими ( ), если появление события влечёт за собой появление события ;
События и эквивалентны ( ), если состоит в появлении , а – в появлении :
Составные события – события, сами состоящие из нескольких событий.
Действия над событиями.
Сумма событий ( ) – событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий-слагаемых.
Произведение событий ( ) – событие, которое состоит в появлении обоих событий-множителей в одном опыте.
Разность событий ( ) – событие, состоящее в появлении и непоявлении .
События образуют полную группу, если они в сумме дают достоверное событие: .
Множество элементарных исходов (исходов, элементарных событий) – полная группа несовместных равновозможных событий.
Равновозможные события – события, каждое из которых не является более возможным, чем другие.
Свойства операций над событиями.
10. Коммутативность: ;
20. Дистрибутивность: ;
30. Ассоциативность: .
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
Пусть – некоторое множество (множество элементарных исходов). Элементы будем обозначать , подмножества , – случайные события.
Рассмотрим – алгебра множеств, порождённая подмножествами , если:
;
;
.
– . Если условие 3 выполняется для произвольного количества множеств, то – измеримое пространство.
Аксиома 1 (аксиома неотрицательности): Каждому элементу ставится в соответствие неотрицательное вещественное число – вероятность.
Аксиома 2 (аксиома нормированности): .
Аксиома 3(аксиома сложения): .
Аксиома 4 (расширенная аксиома сложения): .
Аксиома 5 (аксиома непрерывности): .
Следствие 1: .
Доказательство: , .
Следствие 2: .
Доказательство: .
Следствие 3 (теорема сложения): .
Доказательство: Следствие 4 (неравенство треугольника): .
Следствие 5: .
Доказательство: .
Следствие 6: .
Доказательство: .