№17. Условные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.

_{Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение.}

_{Условные функции распределения случайных величин и , входящих в систему, обозначаются и , а условные плотности распределения – и .}

_{Теорема умножения плотностей распределения: или .}

_{Для независимых случайных величин или .}

_{– условная вероятность.}

_{Случайные величины и называют независимыми, если совместная функция распределения является произведением одномерных функций распределения и : . В противном случае случайные величины называют зависимыми.}

_{Для независимых случайных величин и события и являются независимыми. Покажем, что независимыми являются и все события и . Действительно, в силу независимости и , свойства 5 двумерной функции распределения ( ) и свойства 3 одномерной функции распределения ( ) имеем , что и означает независимость событий и .}

_{Теорема: Для того, чтобы непрерывные случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех и .}

_{Доказательство: I. Необходимость. Пусть случайные величины и независимы. Тогда, согласно определению . Имеем: .}

_{II. Достаточность. . Теорема доказана.}

_{Теорема: Дискретные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений и .}

_{Случайные величины , заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называют независимыми в совокупности, если .}

_{№18. Числовые характеристики случайного вектора.}

_{Пусть – случайный вектор, тогда – математическое ожидание случайного вектора , – его дисперсия.}

_{– ковариация (корреляционный момент)}

_{Свойства ковариации:}

1. _;

2. _;

3. 

_{Доказательство: , ч.т.д}

4. _{Если и независимы, то .}

_{№19. Коэффициент корреляции и его свойства. Корреляционная матрица.}

_{Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется безразмерная величина , где . Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Независимые случайные величины являются некоррелированными (для них ).}

_{Свойства:}

1. _;

2. _{Если и независимы, то ;}

3. _{, при этом знак «плюс» нужно брать в том случае, когда и имеют одинаковые знаки, и минус – в противном случае;}

4. _;

5. _{тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью (т.е. ).}

_{Корреляционной матрицей системы случайных величин называется таблица, составленная из корреляционных моментов всех этих величин, взятых попарно , где – корреляционный момент случайных величин и .}

_{Корреляционная матрица симметрична, поэтому обычно заполняется лишь половина таблицы, .}

_{По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин .}

_{Нормированной корреляционной матрицей системы случайных величин называется таблица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно, , где – коэффициент корреляции величин и . По главной диагонали нормированной корреляционной матрицы стоят единицы.}