№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.

_{– многомерная случайная величина (упорядоченная совокупность случайных величин). Пример – абсцисса и ордината при случайном попадании (двумерная случайная величина).}

_{– функция распределения (совместная, функция распределения), – многомерная вероятность.}

_{Рассмотрим свойства двумерной функции распределения:}

1. _;

2. _{– неубывающая функция по каждому из аргументов и ;}

3. _;

4. _;

5. _;

6. _{– непрерывная слева в любой точке по каждому из аргументов и функция;}

7. _.

_{Совместная плотность распределения.}

_{Непрерывной двумерной случайной величиной называют такую двумерную случайную величину , совместную функцию распределения которой можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла: . Функцию называют совместной двумерной плотностью распределения случайных величин и , или плотностью распределения случайного вектора . Представление в виде повторного интеграла: .}

_{Свойства двумерной плотности распределения:}

1. _;

2. _;

3. _{– условие нормировки;}

4. _;

5. _;

6. _;

7. _;

8. _.

_{Многомерный ряд распределения.}

_{Двумерную случайную величину называют дискретной, если каждая из случайных величин и является дискретной.}

_{Для простоты ограничимся конечным множеством возможных значений, когда случайная величина может принимать только значения , – значения , а координаты двумерного случайного вектора – пары значений . Такое перечисление удобно представлять в виде таблицы. В этой таблице в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины , а в левом столбце – значения случайной величины . На пересечении столбца « » со строкой « » находится вероятность . В этой таблице обычно добавляют ещё одну строку « » и столбец « ». На пересечении столбца со строкой « » записывают число . Но представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина примет значение , т.е. . Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины . Аналогично, в последней строке « » помещены значения , а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины . Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то при составлении таблицы была допущена ошибка.}

_{Используя данную таблицу, нетрудно определить совместную функцию распределения . Ясно, что для этого необходимо просуммировать по всем тем и , для которых , т.е. .}

№16. Нормальный случайный вектор.

_{Введём двумерное нормальное распределение случайного вектора .}

_{Пусть координаты и случайного вектора являются случайными величинами, распределёнными по нормальному закону, т.е. имеют плотности распределения и . Если и являются независимыми случайными величинами, то , и в этом случае плотность распределения двумерного нормального распределения имеет вид . В общем случае вектор имеет (невырожденное) двумерное нормальное распределение, если его плотность распределения определяется формулой , где функция двух переменных есть положительно определённая квадратичная форма (т.е. для любых ).}

_{Двумерное нормальное распределение зависит от пяти параметров:}

_{– координат и вектора , называемого вектором математических ожиданий вектора ;}

_{– координат и вектора , называемого вектором средних квадратических отклонений вектора ;}

_{– числа , называемого коэффициентом корреляции случайных величин и .}