№9. Случайная величина. Функция распределения случайной величины и её свойства.

_{Скалярная случайная величина принимает значения из некоторого множества, до опыта заранее не известные.}

_{Примеры случайных величин: количество студентов на занятии, уровень воды в реке, сила электрического тока в сети в конкретный момент времени, количество частиц в пригоршне песка и т.п.}

_{В зависимости от множества принимаемых значений случайные величины подразделяются на непрерывные (НСВ) и дискретные (ДСВ).}

_{У дискретной случайной величины множество значений конечно, либо счётно. Если множество значений несчётно, то случайная величина является непрерывной. Также различают смешанные случайные величины.}

_{Случайные величины обозначаются: .}

_{– случайные события, у которых можно считать вероятность.}

_{Малыми латинскими буквами обозначаются конкретные значения случайной величины.}

_{Закон распределения случайной величины: . – измеримая функция, действующая из в подмножество пространства . – множество значений случайной величины .}

_{Измеримость функции позволяет любому бореевскому множеству}

_{поставить в соответствие одно конкретное множество из . Таким образом , поэтому вероятность события есть вероятность события : . Закон распределения – связь между подмножеством значений случайной величины и вероятностью её попадания в это подмножество.}

_{Случайная величина считается заданной, если задан её закон распределения и множество значений.}

_{Вид функции полностью задаёт закон распределения.}

_{Как правило в практических задачах явный вид функции неизвестен. Его либо невозможно, либо крайне трудно найти.}

_{Если , то имеем вероятность – функция распределения. полностью задаёт закон распределения.}

_{Свойства функции распределения:}

1. _;

2. _;

3. 

_{Доказательство:}

_{, ч.т.д.}

4. _;

5. 

_{Доказательство:}

_{, ч.т.д.}

_{№10. Дискретная случайная величина. Формы задания закона распределения дискретной случайной величины.}

_{Случайную величину называют дискретной, если множество её возможных значений конечно или счётно.}

_{Формы задания закона распределения ДСВ:}

1. _{Ряд распределения.}

_{Свойства ряда распределения:}

1. _;

2. _{– свойство нормировки;}

3. _;

4. 

_{Доказательство:}

_{, ч.т.д.}

2. _{Ф ункция распределения. Функция распределения ДСВ является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке значение 0, на промежутках – значение и на промежутке – значение 1.}

3. _{А налитическое и графическое задание закона распределения ДСВ. Для задания закона распределения ДСВ, наряду с рядом распределения и функцией распределения, используют другие способы. Например, распределение игральной кости описывают формулой . Графическое изображение этого распределения приведено на рисунке.}

_{№11. Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности и её свойства.}

_{Непрерывной называют случайную величину , функцию распределения которой можно представить в виде (1). Функцию называют плотностью распределения случайной величины . Предполагают, что несобственный интеграл в представлении (1) сходится.}

_{Все реально встречающиеся плотности распределения случайных величин являются непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями. Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины является непрерывной на всей числовой оси, и в точках непрерывности плотности распределения имеет место равенство: (2).}

_{Соотношения (1) и (2), связывающие между собой функцию и плотность распределения, делают понятной следующую терминологию, часто употребляемую на практике. Функцию распределения называют интегральным законом распределения случайной величины, а плотность распределения – дифференциальным законом распределения той же случайной величины.}

_{Плотность распределения обладает следующими свойствами:}

1. _;

_{Доказательство: .}

3. _{– свойство нормировки;}

4. _;

5. _{; (равенство в записи не играет никакой роли, т.к. вероятность попадания в точку равна нулю)}

6. _{, где – некоторое множество (совокупность отрезков).}