________________________________44_____________________

Равенство Парсеваля.

!!!!!!: Переобозначения F-f с крышей G-g с крышей

f,gS(f,g)=(F,G), т.е. ^+_-f(y)G(y)dy= ^+_-F(y)g(y)dy

Док-во ^+_- F(y)g(y) e^iyxdy=^+_-g(y)(1/(2)^+_-f(t) e-^iytdt) e^iyxdy=

=^+_-f(t)(1/(2)^+_-g(y) e ^-iy(t-x)dy) dt=^+_-f(t)G(t-x)dt=^+_-f(x+y)G(y)dy

^+_-F(y)g(y)= ^+_-g(y)F(y)

^(g(y))=1/(2)^+_-g(x) e ^ixydx=(g(y))‡^(^(g))=g‡

^+_-G(y)F(y) dy=^+_-g(y)f(y) dy‡‡‡‡Cлед1 ^

G=g‡‡След.2 fF-изоиетрия

║f║₂=║F║₂ ^+_-f ²(y)dy=^+_- |F(y)|² dy ║f-g║₂=║F-G║₂‡‡‡Зам. ф-ла верна, если f,gR₂[-,+]‡‡‡‡‡‡‡

Формулы Бореля

f,gS

\f*g\=(2) FG (1) !Advertencia!: f и g косых скобках это f и g под одной

\fg\=(1/(2))F*G (2) крышей



Док-во (f*g)(x)= ^+_-f(x-t)g(t)dt= ^+_-f(t)g(x-t)dt

(\f*g\)(y)=(1/(2))^+_-(f*g)(x) e ^-ixydx=(1/(2)^+_-(^+_-f(x-t)g(t)dt) e ^-ixydx=

=(1/(2))^+_-g(t)e ^-ity (^+_-f(x-t) e ^-iy(x-t) dx)dt=(2)G(y)F(y)

(1)(2) _____

^ ( \u*v\ )=(2) /UV/ ‡ ]u=F ; v=GF*G=(2) \fg\‡‡‡‡‡‡

 

Сл. f*g=√(2)FG‡ fg=[1/√(2)]F*G

______________________________43_______________________

Пространство быстро убывающих функций, действие преобр-я Фурье на нем.

Опр. S={f(x)C^(R), sup |xⁿf^(m)(x)|< m, nZ; m,n0}–быстро убыв. ф-ции

Зам. fS|f^(m)(x)|=o(1/(xⁿ))[x] m,nZ; m,n0

Дво. . sup|xⁿ⁺¹f^(m)(x)|=M<+; |x|ⁿ|f^(m)(x)|M/|x|0[x]

. A: |x|>A|f^(m)(x)||xⁿ|<1; M=max|f^(m)(x)||xⁿ|sup[по R]|f(x)||xⁿ|M+1

Опр. _______ - замыкание (со своими предельными точками)

1)f: RC; {x: f(x)0} = supp f – носитель ф-ции f

2)f – фининая ф-я, если supp f – компакт. (на примере отрезка)

C₀(R) – финитные непр. ф-ции; C₀^(R) – финитные из C^(R);; C₀^(R)S

Пр1. f(x)={e^-1/X, x>0 или 0, x0;

C₀^f(x)={e^{-1/(x-a)(x-b)} при a<x<b или 0 при xa; xb |не ноль на [a;b]

Пр2. e^{-X^2}S

Та. Преобр-е Фурье и обр. преобр-е Фурье – линейные автоморфизмы пространства S.

Дво. S-лин. пр-во (можно складывать и умн. на const) ^(...) – преобр. Ф.

^(f+g)=^(f)+^(g) (по св-ву int); fS {xⁿf(x)S; f^(m)(x)S n,mN}

fS(xⁿf(x))^(m)S

f^(f), fS^(f)C^ (по Те2 о гладк-ти преобр-я убыв. ф-ии);

(xⁿf(x))^(m)S^((xⁿf(x))^(m)(y))[0 при y]=(iy)^m^((xⁿf(x))(y))=

=i^n+my^m^(f)⁽ⁿ⁾(y)^(f)⁽ⁿ⁾=o(1/y^m)m,n^(f)S; т.о., ^: SS ;;;v(...) – обр.к ^

^(f)(y)=(1/sqrt(2))int[-;]f(x)e^-ixydx = v(f)(-y)^(f)(y)=v(f)(-y);f(y)f(-y):

SS |  v: SS

проверим сюръект-ть (отобр. “на”) ^: fS, f=^(v(f))”на”; g=v(f), gS;

f=v(^(f)) fv(f) – «на»

___________________продолжение___________________25____

Опр. { x_n}- фундаментальная, если >0  N: m,n>N ( x_n,x_m)<

Св-ва:

1.Если  lim_nx_n =x  { x_n}- фундаментальная

2.Если { x_n}- фундаментальная , то {x_n}ограничено.

Опр.(Х,) называется полным, если  фундаментальная послед-ть сходится.

Примеры:

1)Rⁿ - полное (Rⁿ,_p) 1p+

2)R\{0},(x,y)=x-y не полное,{1/n}-фундамент. в Х, не  lim(1/n)

3)(C[a,b], _)- полное {fn}-фундамент. в смысле равномерной сходимости

 f fn>>f[a,b] fnC[a,b]fC[a,b]

4) C[a,b], ₁- не полное

₁(f,g)= _a^bf(x)-g(x)dx [a,b]=[-1,1]

fn(x)={-1(x(-1,-1/n)); nx(x(-1/n,1/n));

1(x(1/n,1))};;_-1¹fn-fmdx <, n,m>N

C[0,1] fnf=1 на [0,1]

C[-1,0] fnf=-1 на [-1,0] не  fC[-1,1] __

Опр. EX (X,) E – всюду плотно в Х, если E=X, т.е. xX {x_n},x_nE,

limx_n=x.

Примеры:

R,Q __

Q-всюду плотно в R,Q –не полное пр-во; Q=R-полное.

Т-ма.

(X,)-метрич.пр-во(не полное)  (Х1,)-полное ХХ1, Х всюду плотно в Х1,

 х,уХ (х,у)=1(х,у) (Х1,1)- пополнение Х.