__________________________________18___________________

Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, площадь поверхности.

S={M(u,v); (u,v)G}- непр. диффер. поверхность.

r(t) atb –непр. диффер. кривая на S.

dr=r_udu+r_vdv du=u'_tdt dv=v'_tdt

dr²=(dr, dr)=( r_udu+r_vdv, r_udu+r_vdv )=(r_u ,r_u)du²+2(r_u , r_v )dudv+ (r_v ,r_v)dv²=. // g₁₁=(r_u ,r_u)=r_u²; g₁₂=(r_u , r_v ); g₂₂=(r_v ,r_v)=r_v² //

=g₁₁du²+2g₁₂dudv+g₂₂dv² – первая квадр. форма.

dr² 0 – положительно полуопределена.

Утв.: В неособой т. первая кв. форма > 0.

Д-во.: M₀- неособая  r_u0  g₁₁=r_u²>0.# a xb=a bsin

(a, b)=a bcos. a xb²=a ²b² -(a, b)² (тожд. Лагранжа)

0r_u xr_v²= r_u²r_v² –(r_u, r_v)²=g₁₁g₂₂-g₁₂².

Проверим, что g₁₁ g₁₂ = g₁₁g₂₂-g₁₂² >0

g₁₂ g₂₂ 

Поскольку в неособой точке поверхности r_u xr_v>0 => g₁₁g₂₂-g₁₂² >0.

Длина кривой на поверхности.

r(t) S-длина дуги ; 0sL-длина кривой.

dr/ds=1dr=ds# ds/dt >0

ds²=dr²=g₁₁du²+2g₁₂dudv+g₂₂dv²=g₁₁U'_t²dt²+2g₁₂U'_tV'_tdt²+g₂₂V'_t²dt²

ds/dt²=g₁₁U'_t²+2g₁₂U'_tV'_t+ g₂₂V'_t² .

L=∫_a^b (ds/dt)dt=∫_a^b( g₁₁U'_t²+2g₁₂U'_tV'_t+g₂₂V'_t²)

Площадь поверхности.

S={r(u,v); (u,v) G} r=непр. диффер. _k- разбиение G (к- фиксировано)

Q={(x,y):m/10ⁿx(m+1)/10ⁿ ;n/10ⁿy(n+1)/10ⁿ }-один из квадратов разбиения

={Q_iG=X_i0) ₁={Q_iQ_iG }.

-площадь пов-сти. U,V=const.

r(n+h)-r(h,v)=r_u(_i)h+0(h) # r(u,v+h)-r(u,v)=r_v(_i)h+0(h)

_i- параллерограмм со стор.r_uh, r_vh. S₁=[Q₁]_i # (S)=lim[k](S₁(k))

(_i)= r_u xr_v(_i)

(S₁(k))=∑[Q₁] r_u xr_v(_i)(Q_i) # Интегр. сумма для r_u xr_v: (S_k)[k] ∫∫_Gr_u xr_vdudv=∫∫( g₁₁g₂₂-g₁₂²)dudv=∫∫_Gds.

Интегр. сумма для r_u xr_v:

∑r_u xr_v(J_i)(x_i)=∑[Q_i₁] +∑[x/₁] r_u xr_v(J_i)(x_i) # r_u xr_v-непр она огр. на G # c: r_u xr_v(J_i)<c # ∑[x_i/_i](x_i)[k0] 0 т.к. (G)=0

z=f(x,y) (x.y)G

r_u xr_v=1+f_x'²+f_y'² (S)=∫∫_G(1+f_x'²+f_y'²)dxdy

________________________________17_____________________

Поверхности в пространстве, кривые на поверхности, касательная плоскость, нормаль.

] R²_uv –координатная плоскость, G- область в R². M(u,v)- непрерывное отобр. замыкания G плоской области GR², (u,v)G в пространство R³ наз. поверхностью - S. S={M(u,v); (u,v)G} , M(u,v)R³.

{M(u,v); (u,v)G}- носитель поверхности.

S=(r(u,v); (u,v)G)- векторное задание поверхности.

S=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))- координатное задание поверхности.

Если M(u,v)=M(u₁,v₁), и (u,v)(u₁,v₁) то M(u,v)-кратная точка.

Если  кратная точка , то М- поверхность с самопересеченем.

{M(u₀,v)}, (M(u,v₀)}- координатные кривые.

r(t)={u(t),v(t)}- кривая на поверхности.

] M- непр. дифф. поверхность, r (t)- непр. диффер. кривая на поверхн. M.

r_u=r'_u(u,v₀); r_v=r'_v(u₀,v); тогда r'_t=r'_uU'_t+r'_vV'_t – касат. вектор.

Опр.1: М₀ – не особая, если r_u и r_v – не коллениарны.  r_u xr_v  0.

Опр.2: Если м0- не особая т. То  пл-ть s: m0s , s||ru ,rv . Касательный вектор к  непр. Диффер. Кривой проходящей через м0, лежит в касат. Пл-ти.

r_u ,r_v, r_u -r_v должны лежать в 1-й пл-ти.

x-x₀ y-y₀ z-z₀ 

 x_u y_u z_u =0 = –ур-е касат. пл-ти. z=f(x,y), r=(x,y,f(x,y)), r'_x=(1,0,f'_x)

 x_v y_v z_v  r'_y=(0,1,f'_y)

=(z-z₀)-f'_x(x-x₀)-f'_y(y-y₀)

Опр.: Вектор в т. М₀  касат. пл-ти наз. нормальным а прямая проходящая через М₀ и  касат. пл-ти наз. нормальной. r_u xr_v- норм. вектор.

n=(r_u xr_v)/ r_u xr_v - еденичная нормаль.

r_u xr_v=i j k   ур-е норм. прямой 

 x_u y_u z_u   (x-x_o)/y_u z_u = (y-y₀)/ y_u z_u  = (z-z₀)/ y_u z_u 

 x_v y_v z_v  y_v z_v  y_v z_v  y_v z_v 

если поверхность задана явным образом : z=f(x,y) то ур-е норм. прямой :

(x-x₀)/f_x'=(y-y₀)/f_y'=-(z-z₀) .

Если поверхность задана в неявном виде: F(x,y,z)=0 то ур-е касат. пл-ти:

F'_x(x-x₀) + F'_y(y-y₀) + F'_z(z-z₀)=0

(x-x₀)/F_x'=(y-y₀)/F_y'=(z-z₀)/F'_z – ур-е норм. прямой.