- •X[a,b], Un(X)r [1..]Un(X) – сход. Равномерно на х, Un c[a,b] x0[a,b] [1..]x0xUn(t)dt – сход. Равномерно на [a,b]
- •Конечная аддитивность меры Жордана. Мера графика непрерывной функции и спрямляемой кривой.
- •Криволинейные интегралы 2-го рода, свойства.
- •Длина кривой на поверхности.
- •Опр.2: Если м0- не особая т. То пл-ть s: m0s , s||ru ,rv . Касательный вектор к непр. Диффер. Кривой проходящей через м0, лежит в касат. Пл-ти.
- •Ориентация поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода.
- •Соленоидальные векторные поля.
- •Геометрическое определение ротора
- •Коэффициенты Фурье.
- •Гильбертовы пространства.
- •Ряд Фурье. Лемма о непрерывности скалярн. Произведения.
- •Формулы Бореля
- •Теорема Котельникова.(теорема отсчетов)
___2___________________________________________________
Теоремы об интегрировании и дифференцировании равномерно сходящегося ряда.
Т-ма
Пусть XRm Un(x) непрерывна в ()х0 Х [1..]Un(x) – сход. равномерно на Х S(x) непр. в () х0.
Д-во.
Sn(x)= U1(x)+U2 (x)+…+Un(x) Sn>>S на Х S(x) непр. в х0(см 2 сем)
Т-ма( об интегрировании равн. сход. ряда)
X[a,b], Un(X)r [1..]Un(X) – сход. Равномерно на х, Un c[a,b] x0[a,b] [1..]x0xUn(t)dt – сход. Равномерно на [a,b]
[1..]x0xUn(t)dt = x0x([1..]Un(t) )dt.
Д-во
Sn(x)= [1..n]Uk(x) n(x)= [1..n]x0xUk(t)dt=x0x([1..n]Uk(t))dt=x0xSn(t)dt
Sn(x)>>S(x)(>> означает равномерную сходимость) S(x)C[a,b] x0xS(t)dt (S(x) непр-наинтегрируема) Sn>>S x0xSn(t)dt = n(x)
x0xSn(t)dt >> x0xS(t)dt.
Т-ма (о дифференцировании равномерно сходящегося ряда)
U(x)R ,Un(x) C’[a,b], [1..]Un(x) – сход. равномерно на [a,b],x0[a,b]
[1..]Un(x0)- сходится[1..]Un(x) сход. равномерно на [a,b]
([1..]Un(x))’=[1..]Un’(x)
Д-во:
Sn(x)= [1..n]Uk(x) n(x)= [1..n]Uk’(x), n(x)>>(x) на [a,b],
Sn(x0)y0
n(x)=Sn’(x)
n(x)>>(x) S(x) Sn(x)>>S(x), S’(x)=(x)
Sn(x0)y0 2 сем. S(x0)=y0
_1_____________________________________________________
Равномерная сходимость рядов. Критерий Коши, признак Вейерштрасса.
Опр.(*) [1..] Uk(x) – функциональный ряд
Sn(x)=[1..n] Uk(x)
Ряд (*) сходится на Х, если кон. lim nSn(x)=S(x)
S(x)= [1..] Uk(x) rnn(x)= [n..] Un+k(x) – n-й остаток
Ряд (*) сходится абсолютно, если [1..n] Uk(x)- сходится
{xX[1..n] Uk(x)- сход} – область сходимости ряда
Опр. fn>>f [n] (>> здесь равномерно сходится) на Х, если >0 N: n>N f-fn< xX (равномерная сходимость не зависит от Х)
Все fn лежат внутри области f-<fn<f+
Опр. S(x)= [1..] Uk(x) – равномерно сходится на Х, если Sn(x)>>S(x).
Т-ма (критерий Коши)
[1..] Uk(x) – сходится равномерно >0 N:n>N p>N
Un+1(x)+Un+2 (x)+…+Un+p(x)<
Д-во: Sn>>S кр. Коши для послед-ти функций( >0 N:n>N p>N
Sn+p (x) -Sn(x)< xX) Sn+p (x) -Sn(x)= Un+1(x)+Un+2 (x)+…+Un+p(x)
Cл.
[1..] Uk(x) сход. равномерно на Х f(x) ограничена на Х
[1..] f(x)Uk(x) – сходится равномерно на Х
с f(x)< c xX
>0 N:n>N,p>N Un+1(x)+Un+2 (x)+…+Un+p(x)< /c
Un+1(x)f(x)+…+Un+p(x)f(x) f(x)Un+1(x)+…+Un+p(x)<c/c=кр Коши
[1..] f(x)Uk(x) – сходится равномерно на Х.
Т-ма (критерий Вейерштрасса)
[1..] n – сходится n0, Unn xX n=1,2… [1..] Un(x) – сходится абсолютно равномерно на Х.
Д-во
Unn [1..]n – сход. [1..]Un(x)- по т-ме о сравнении рядов
>0, Rn= n+1+ n+2.. N: n>N Rn< r n(x)=Un+1(x)+Un+2 (x)+…
r n(x) n+1+ n+2..= Rn<
S(x)-Sn(x)< rn(x)< xX Sn(x)>>S(x) на Х.
_____3_________________________________________________
Обобщенный признак сходимости Коши для числового ряда. Формула Коши-Адамара.
Опр.an C, z0 C,
[0..] an (z- z0) n – степенной ряд
z- z0= w [0..] an w n
Т-а (обобщенный критерий Коши) ___ ___
Un0, (*) [1..] Un lim nUn = h
Если h<1, то ряд сходится
Если h>1, то ряд расходится
Д-во ___ ___ ___ ___
Пусть h<1 q h<q<1limnnUn = limnsup n+kUn+k = h<q n0 sup n0+kUn0+k -сход (rn0) исходный ряд сходится
Пусть h>1 kn KnUKn h>1 n0 UKn>1 при n> n0 UKn!0ряд расходится.
Замеч. ___ ____
(*) [0..]Un, UnC lim nnUn = h
Если h<1, то ряд сходится абсолютно
Если h>1, то ряд расходится.
Т-а (формула Коши-Адамара)
(*) [0..] an z n R, 0R +
z z<R (*) сходится абсолютно
z z>R (*) расходится ___ _____
R – радиус сходимости,R=1/limnnan (1/0=,1/=0)
DR = {z :z<R}- круг сходимости
Д-во :
z = 0(*) сходится ___ ____ __ ______ ___ ____
z>0 [0..] an z n R=1/limnnan; limnnan zn= zlimnnan =z/R
По критерию Коши:
Если z<R, т.е. z/R<1(*) сходится абсолютно
Если z>R, т.е. z/R>1(*) расходится
Зам. Если lim an+1/ an=h, то R=1/h.
_______4_______________________________________________
Абсолютная и равномерная сходимость степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема о дифференцировании и интегрировании степенных рядов.
Опр.: Ряд вида an(z-z0)n называется степенным рядом. Этот ряд заменой переменной может быть преобразован к виду anzn.
Теор.(Теорема Абеля): Если степенной ряд сходится при z=z0, то при z: z<z0 ряд сходится абсолютно.
Д-во: anzn – cх. limnanz0n= 0 c>0: при z0 anzn=anz0nz/z0ncz/z0n; z<z0 z/z0 - cх. anzn - cх anzn – сх. абсолютно.
Следствие. Если ряд anzn – расх. в z0, то при z:z>z0 он также расх.‡
X – мн-во xR: при z=x ряд anzn сх. Опр.: Число R=supX называется радиусом сходимости рядаanzn.
Теор.: ] R – радиус сходимости ряда anzn. Тогда, еслиz<R, то ряд сх. абсолютно; z>R – ряд расх.; 0rR при zr ряд сх. равномерно.
Д-во:] R>0, z<R xX: z<x<R, anxn - сх. anzn – сх. абсол.(по Т. Абеля). ] R<+, R<z, x: R<x<z, anxn – расх. (по сл. из Т. Абеля) anzn – расх. 0rR , z r anznanrn, anrn – сх. абсол. (по признаку Вейерштраса) anzn – сх. равном при z<r.
Теор.: Если f=an(x-x0)n, R>0, то 1) на (x0-R,x0+R) f(m)(x)=n(n-1)…(n-m+1)an(x-x0)n-m, m=1,2,…; 2) для x(x0-R,x0+R) xx0f(t)dt=(an/(n+1))(x-x0)n+1;
т.е ряд an(z-z0)n можно почленно интегрировать и дифференцировать на интервале (x0-R,x0+R).
Д-во: на отрезке [x0-r,x0+r] 0<r<R степенной ряд сх. равном., то 1) и 2) следуют из общих теорем о дифференцируемости и интегрируемости функциональных рядов.
_________5_____________________________________________
Ряд Тсйлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Опр.: ] f опред. в окр. x0 и в x0 произв. всех поряд., тогда ряд
n=0(f(n)(x0)/n!)(x-x0)n наз. ее рядом Тейл. в (.) x0.‡sn(x)=k=0n(f(k)(x0)/k!)(x-x0)k –частич. сум. порядка n=1,2,...‡rn(x)=f(x)-sn(x)–остат. чл. ф-лы Т. для ф-ии f.‡
f(x)=sn(x)+rn(x)‡‡Сл.Если f разл. в степ. ряд, то это и есть ряд Т.‡‡Сл. ] в окр. (.)х0 f(n)(x), nN; если |f(n)(x)|<M, x(x0-h,x0+h)f(x)=n=0(f(n)(x0)/n!)(x-x0)n при x(x0-h,x0+h)‡‡
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
1)f(x)=ex; x0=0; ex=1+x+x2/2+…+xn/n!+rn(x); rn(x)0 xR; ex=[n=0..](xn/n!) x<; zC; ez=[n=0..](zn/n!) – сх. zC; ezew=ez+w-?
ezew=[n=0..]zn/n![m=0..]wm/m!=[n=0..]([k=0..n]zkwn-k/(k!(n-k)!))=
=[n=0..]((1/n!)([k=0..n]n!zkwn-k/(k!(n-k)!)))=[n=0..](z+w)n/n!=ez+w.
Сл.: eze-z=e0=1 ez0 zC.
2)sin(x)=[k=0..n]((-1)nx2k+1/(2k+1)!) + r(2n+1)(x)0 (n);
cos(x)= [k=0..n]((-1)nx2k/(2k)!) + r(2n)(x)0 (n);
sin(x)=[k=0..]((-1)nx2k+1/(2k+1)!); cos(x)= [k=0..]((-1)nx2k/(2k)!) ;
limnan+1/an=limnx2n+3(2n+1)!/((2n+3)!x2n+1)=
=limnx2/((2n+2)(2n+3))=0 x;
sin(z)=[k=0..]((-1)kz2k+1/(2k+1)!); cos(z)= [k=0..]((-1)nz2k/(2k)!) ;
3) (eiz+e-iz)/2=1/2((i)nzn/n!+(-1)nzn/n!)=0(-1)kz2k/2k!=cos(z);
(eiz-e-iz)/2i=sin(z); cos(z)+isin(z)=eiz; e2i=1ez+2i=ez2i – период ez; ei=-1.
4) f(x)=ln(1+x)=x-x2/2+x3/3+…+(-1)n+1xn/n+rn(x);
1/(1+x)=1-x+x2-x3+…+(-1)nxn+… сх. x<1
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3+…+(-1)n+1xn/n x x<1; x=-1 – расх; x=1 – сх;
rn(x)=(f(n+1)(c)/(n+1)!)xn+1 (c(0,x), x>0; c(x,0), x<0); f(x)=ln(1+x);
f(n+1)(x)=(-1)nn!/(1+x)n+1rn(x)=((-1)nn!/((1+c)n+1(n+1)!))xn+1=
=xn+1/((1+c)n+1(n+1))1/(n+1)0 (n); ln(1+z)=(-1)nzn+1/(n+1) z<1.
5) sh(x)=(ex-e-x)/2=x2k+1/(2k+1)!; ch(x)=(ex+e-x)/2=x2k/(2k)!;
sh(z)=(ez-e-z)/2=z2k+1/(2k+1)!; ch(z)=(ez+e-z)/2=z2k/(2k)!.
6) (1+x)=1+x+((-1)/2)x2+…+((-1)…(-n+1)/n!)xn+rn(x);
[n=0..]((-1)…(-n+1)/n!)xn; an+1/an=((-n)/(n+1))xnx x<1 – сх.; rn(x)= ((-1)…(-n+1)/n!)(1+c)-n+1(x-c)nx=
=((-1)…(-n+1)/n!)xn((1+c)+1x)((1-(c/x))/(1+(c/x)))n0 (c/x0,n, x<1); ((-1)…(-n+1)/n!)xn0; ((1+c)+1x)<2+1;
((1-(c/x))/(1+(c/x)))n<1.
7) 1/(1+x2)= 1-x2+x4+…+(-1)kx2k+… - x<1;
arctg(x)=x-x3/3+x5/5+…+(-1)kx2k+1/(2k+1)+… x x<1
x=-1 – расх; x=1 – сх;
arctg(1)=/4=1-1/3+1/5-1/7+…
___________6___________________________________________
Определение и свойства меры Жордана. Критерий измеримости множества.
Rn, k0, xi=m/10k mZ ; Qk(m1,..,mk)={x: mi/10kximi+1/10k, i=1,..,n} – n-
мерный куб. Tk={Qk}; Rn=U[m1,..,mn](Qk(m1,..,mn)); (Qn)=(1/10k)n; S=U[i=1..m](Qki) => (S)=m(1/10k)n; S=U[1..](Qki); (S)=+;
X: Sk(X)=U[QkX](Qk); sk(X)=U[QkX](Qk) ;
sk(X)sk+1(X) m(sk(X))
Sk(X)Sk+1(X) => m(Sk(X)) =>
lim((sk(X)))=*(X) – нижняя мера Жордана
lim((Sk(X)))=*(X) – верхняя мера Жордана
Опр.: X – измеримо по Жордану если *(X)=*(X)=(X)<+
Св-ва: 1) Если *(X)=0, то X измеримо, (X)=0. Д-во: 0*(X)*(X)=0 =>
=>*(X)=*(X)=0 ‡ 2) X – ограничено => *(X)<+. Д-во: Q={xim}
xQ => Sk(X){xm+1}=Q2; (Sk(x))(Q)=(2(m+1))n => *(x)<+‡
3) Если X – неограниченно: *(X)=+, X – не измеримо. Д-во: XSk(X) =>
Sk(x) – неограниченно => Sk(X) – содержит число кубов => (Sk(X))=+‡‡
Теор.: A – измеримо по Жордану <=> A ограничено и m(A)=0.
A – граница мн-ва A;
Å={xA, B(x,)A} – мн-во внутр. точек ;
(Rn\A ) – мн-во внешн. точек; A={x: B(x,)A, B(x,)(Rn\A)}
Rn= ÅA(Rn\A); Ā=AA= ÅA – замыкание A
Д-во: 1) =U[QkSk(A),Qksk(A)](Qk); =Sk\sk ; (k)=(Sk)-(sk); Ak(A)Sk(A); A – измеримо => A – огр. ; (k(A))=(Sk)-(sk), (Sk)(A), (sk)(A), k; =>*(A)=0 => A – измер., m()=0.
2) m(A)=0 => lim[k]((Sk(A)))=0 => lim[k](k(A))=0 =>
(Sk)-(sk)=0
кон. *(A),*(a) =>*(A)=*(A)
Сл.1. (A)=(B)=0 => AB – измер. (AB)=0. Д-во: *(AB)*(A)+*(B)- ?; Q=Sk(AB) => QSk(A) или QSk(B) => Sk(AB)(Sk(A)Sk(B)); (Sk(AB))(Sk(A))+(Sk(B)), (Sk(A))0, (Sk(B))0, k => *(AB)=0.
Cл.2. A,B – измеримы => AB, AB, A\B – измеримы. Д-во: (AB)AB; (AB)AB; (A\B)AB; x(AB)=> x(Rn\A)
x(Rn\B); Если xÅ и xB => x(ÅB) => x(AB) => xA или B => xAB; A,B – изм. => (A)=0, (B)=0 =>(AB)=0 => ((AB))=0 =>AB – изм. и т. д.
Сл.3. A – измеримо => Ā – измеримо, (Ā)=(A). Д-во: Ā=AA => (Ā)(A)+(A)=(A); AĀ