___2___________________________________________________

Теоремы об интегрировании и дифференцировании равномерно сходящегося ряда.

Т-ма

Пусть XR^m Un(x) непрерывна в ()х0  Х [1..]Un(x) – сход. равномерно на Х  S(x) непр. в () х0.

Д-во.

Sn(x)= U₁(x)+U₂ (x)+…+U_n(x) Sn>>S на Х  S(x) непр. в х0(см 2 сем)

Т-ма( об интегрировании равн. сход. ряда)

X[a,b], Un(X)r [1..]Un(X) – сход. Равномерно на х, Un c[a,b] x0[a,b]  [1..]x0xUn(t)dt – сход. Равномерно на [a,b]

[1..]_x0^xUn(t)dt = _x0^x([1..]Un(t) )dt.

Д-во

Sn(x)= [1..n]Uk(x) n(x)= [1..n]_x0^xUk(t)dt=_x0^x([1..n]Uk(t))dt=_x0^xSn(t)dt

Sn(x)>>S(x)(>> означает равномерную сходимость) S(x)C[a,b]   _x0^xS(t)dt (S(x) непр-наинтегрируема) Sn>>S _x0^xSn(t)dt = n(x) 

_x0^xSn(t)dt >> _x0^xS(t)dt.

Т-ма (о дифференцировании равномерно сходящегося ряда)

U(x)R ,Un(x) C’[a,b], [1..]Un(x) – сход. равномерно на [a,b],x0[a,b]

[1..]Un(x0)- сходится[1..]Un(x) сход. равномерно на [a,b]

([1..]Un(x))’=[1..]Un’(x)

Д-во:

Sn(x)= [1..n]Uk(x) n(x)= [1..n]Uk’(x), n(x)>>(x) на [a,b],

 Sn(x0)y0

n(x)=Sn’(x)

n(x)>>(x)   S(x) Sn(x)>>S(x), S’(x)=(x)

Sn(x0)y0 2 сем. S(x0)=y0

_1_____________________________________________________

Равномерная сходимость рядов. Критерий Коши, признак Вейерштрасса.

Опр.(*) [1..] Uk(x) – функциональный ряд

Sn(x)=[1..n] Uk(x)

Ряд (*) сходится на Х, если  кон. lim _nSn(x)=S(x)

S(x)= [1..] Uk(x) r_nn(x)= [n..] Un+k(x) – n-й остаток

Ряд (*) сходится абсолютно, если [1..n] Uk(x)- сходится

{xX[1..n] Uk(x)- сход} – область сходимости ряда

Опр. fn>>f [n] (>> здесь равномерно сходится) на Х, если  >0  N: n>N f-fn<  xX (равномерная сходимость не зависит от Х)

Все fn лежат внутри области f-<fn<f+

Опр. S(x)= [1..] Uk(x) – равномерно сходится на Х, если Sn(x)>>S(x).

Т-ма (критерий Коши)

[1..] Uk(x) – сходится равномерно   >0  N:n>N p>N

U_n+1(x)+U_n+2 (x)+…+U_n+p(x)< 

Д-во: Sn>>S  кр. Коши для послед-ти функций( >0  N:n>N p>N

S_n+p (x) -S_n(x)<   xX) S_n+p (x) -S_n(x)= U_n+1(x)+U_n+2 (x)+…+U_n+p(x)

Cл.

[1..] Uk(x) сход. равномерно на Х f(x) ограничена на Х 

[1..] f(x)Uk(x) – сходится равномерно на Х

 с f(x)< c  xX

>0  N:n>N,p>N U_n+1(x)+U_n+2 (x)+…+U_n+p(x)< /c

U_n+1(x)f(x)+…+U_n+p(x)f(x) f(x)U_n+1(x)+…+U_n+p(x)<c/c=кр Коши

 [1..] f(x)Uk(x) – сходится равномерно на Х.

Т-ма (критерий Вейерштрасса)

[1..] n – сходится n0, Unn xX n=1,2… [1..] Un(x) – сходится абсолютно равномерно на Х.

Д-во

Unn [1..]n – сход. [1..]Un(x)- по т-ме о сравнении рядов

>0, Rn= _n+1+ _n+2..  N: n>N Rn< r _n(x)=U_n+1(x)+U_n+2 (x)+…

 r _n(x) _n+1+ _n+2..= Rn<

S(x)-Sn(x)< r_n(x)< xX  Sn(x)>>S(x) на Х.

_____3_________________________________________________

Обобщенный признак сходимости Коши для числового ряда. Формула Коши-Адамара.

Опр.a_n C, z₀ C,

[0..] a_n (z- z₀) ⁿ – степенной ряд

z- z₀= w [0..] a_n w ⁿ

Т-а (обобщенный критерий Коши) ___ ___

Un0, (*) [1..] Un lim ⁿUn = h

Если h<1, то ряд сходится

Если h>1, то ряд расходится

Д-во ___ ___ ___ ___

Пусть h<1 q h<q<1lim_nⁿUn = lim_nsup ^n+kU_n+k = h<q n0 sup ^n0+kU_n0+k -сход (r_n0)  исходный ряд сходится

Пусть h>1  k_n ^KnU_Kn h>1   n₀ U_Kn>1 при n> n₀  U_Kn!0ряд расходится.

Замеч. ___ ____

(*)  [0..]Un, UnC lim _nⁿUn = h

Если h<1, то ряд сходится абсолютно

Если h>1, то ряд расходится.

Т-а (формула Коши-Адамара)

(*) [0..] a_n z ⁿ  R, 0R +

1.  z z<R (*) сходится абсолютно

 z z>R (*) расходится ___ _____

2. R – радиус сходимости,R=1/lim_nⁿa_n (1/0=,1/=0)

D_R = {z :z<R}- круг сходимости

Д-во :

z = 0(*) сходится ___ ____ __ ______ ___ ____

z>0 [0..] a_n z ⁿ R=1/lim_nⁿa_n; lim_nⁿa_n zⁿ= zlim_nⁿa_n =z/R

По критерию Коши:

Если z<R, т.е. z/R<1(*) сходится абсолютно

Если z>R, т.е. z/R>1(*) расходится

Зам. Если  lim a_n+1/ a_n=h, то R=1/h.

_______4_______________________________________________

Абсолютная и равномерная сходимость степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема о дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Опр.: Ряд вида a_n(z-z₀)ⁿ называется степенным рядом. Этот ряд заменой переменной может быть преобразован к виду a_nzⁿ.

Теор.(Теорема Абеля): Если степенной ряд сходится при z=z₀, то при  z: z<z₀ ряд сходится абсолютно.

Д-во: a_nzⁿ – cх.  lim_na_nz₀ⁿ= 0   c>0: при z0 a_nzⁿ=a_nz₀ⁿz/z₀ⁿcz/z₀ⁿ; z<z₀ z/z₀ - cх.  a_nzⁿ - cх  a_nzⁿ – сх. абсолютно.

Следствие. Если ряд a_nzⁿ – расх. в z₀, то при  z:z>z₀ он также расх.‡

X – мн-во xR: при z=x ряд a_nzⁿ сх. Опр.: Число R=supX называется радиусом сходимости рядаa_nzⁿ.

Теор.: ] R – радиус сходимости ряда a_nzⁿ. Тогда, еслиz<R, то ряд сх. абсолютно; z>R – ряд расх.; 0rR при zr ряд сх. равномерно.

Д-во:] R>0, z<R   xX: z<x<R, a_nxⁿ - сх.  a_nzⁿ – сх. абсол.(по Т. Абеля). ] R<+, R<z,  x: R<x<z, a_nxⁿ – расх. (по сл. из Т. Абеля) a_nzⁿ – расх. 0rR , z r a_nzⁿa_nrⁿ, a_nrⁿ – сх. абсол. (по признаку Вейерштраса) a_nzⁿ – сх. равном при z<r.

Теор.: Если f=a_n(x-x₀)ⁿ, R>0, то 1) на (x₀-R,x₀+R) f^(m)(x)=n(n-1)…(n-m+1)a_n(x-x₀)^n-m, m=1,2,…; 2) для x(x₀-R,x₀+R) ^x_x0f(t)dt=(a_n/(n+1))(x-x₀)ⁿ⁺¹;

т.е ряд a_n(z-z₀)ⁿ можно почленно интегрировать и дифференцировать на интервале (x₀-R,x₀+R).

Д-во: на  отрезке [x₀-r,x₀+r] 0<r<R степенной ряд сх. равном., то 1) и 2) следуют из общих теорем о дифференцируемости и интегрируемости функциональных рядов.

_________5_____________________________________________

Ряд Тсйлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Опр.: ] f опред. в окр. x₀ и  в x₀ произв. всех поряд., тогда ряд

_n=0^(f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ наз. ее рядом Тейл. в (.) x₀.‡s_n(x)=_k=0ⁿ(f^(k)(x₀)/k!)(x-x₀)^k –частич. сум. порядка n=1,2,...‡r_n(x)=f(x)-s_n(x)–остат. чл. ф-лы Т. для ф-ии f.‡

f(x)=s_n(x)+r_n(x)‡‡Сл.Если f разл. в степ. ряд, то это и есть ряд Т.‡‡Сл. ] в окр. (.)х₀  f⁽ⁿ⁾(x), nN; если |f⁽ⁿ⁾(x)|<M, x(x₀-h,x₀+h)f(x)=_n=0^(f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ при x(x₀-h,x₀+h)‡‡

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

1)f(x)=e^x; x₀=0; e^x=1+x+x²/2+…+xⁿ/n!+r_n(x); r_n(x)0 xR; e^x=[n=0..](xⁿ/n!) x<; zC; e^z=[n=0..](zⁿ/n!) – сх. zC; e^ze^w=e^z+w-?

e^ze^w=[n=0..]zⁿ/n![m=0..]w^m/m!=[n=0..]([k=0..n]z^kw^n-k/(k!(n-k)!))=

=[n=0..]((1/n!)([k=0..n]n!z^kw^n-k/(k!(n-k)!)))=[n=0..](z+w)ⁿ/n!=e^z+w.

Сл.: e^ze^-z=e⁰=1  e^z0 zC.

2)sin(x)=[k=0..n]((-1)ⁿx^2k+1/(2k+1)!) + r_(2n+1)(x)0 (n);

cos(x)= [k=0..n]((-1)ⁿx^2k/(2k)!) + r_(2n)(x)0 (n);

sin(x)=[k=0..]((-1)ⁿx^2k+1/(2k+1)!); cos(x)= [k=0..]((-1)ⁿx^2k/(2k)!) ;

lim_na_n+1/a_n=lim_nx²ⁿ⁺³(2n+1)!/((2n+3)!x²ⁿ⁺¹)=

=lim_nx²/((2n+2)(2n+3))=0 x;

sin(z)=[k=0..]((-1)^kz^2k+1/(2k+1)!); cos(z)= [k=0..]((-1)ⁿz^2k/(2k)!) ;

3) (e^iz+e^-iz)/2=1/2((i)ⁿzⁿ/n!+(-1)ⁿzⁿ/n!)=₀^(-1)^kz^2k/2k!=cos(z);

(e^iz-e^-iz)/2i=sin(z); cos(z)+isin(z)=e^iz; e^2i=1e^z+2i=e^z2i – период e^z; e^i=-1.

4) f(x)=ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n+r_n(x);

1/(1+x)=1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ+… сх. x<1

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n x x<1; x=-1 – расх; x=1 – сх;

r_n(x)=(f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n+1)!)xⁿ⁺¹ (c(0,x), x>0; c(x,0), x<0); f(x)=ln(1+x);

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(-1)ⁿn!/(1+x)ⁿ⁺¹r_n(x)=((-1)ⁿn!/((1+c)ⁿ⁺¹(n+1)!))xⁿ⁺¹=

=xⁿ⁺¹/((1+c)ⁿ⁺¹(n+1))1/(n+1)0 (n); ln(1+z)=(-1)ⁿzⁿ⁺¹/(n+1) z<1.

5) sh(x)=(e^x-e^-x)/2=x^2k+1/(2k+1)!; ch(x)=(e^x+e^-x)/2=x^2k/(2k)!;

sh(z)=(e^z-e^-z)/2=z^2k+1/(2k+1)!; ch(z)=(e^z+e^-z)/2=z^2k/(2k)!.

6) (1+x)^=1+x+((-1)/2)x²+…+((-1)…(-n+1)/n!)xⁿ+r_n(x);

[n=0..]((-1)…(-n+1)/n!)xⁿ; a_n+1/a_n=((-n)/(n+1))x_nx x<1 – сх.; r_n(x)= ((-1)…(-n+1)/n!)(1+c)^-n+1(x-c)ⁿx=

=((-1)…(-n+1)/n!)xⁿ((1+c)^+1x)((1-(c/x))/(1+(c/x)))ⁿ0 (c/x0,n, x<1); ((-1)…(-n+1)/n!)xⁿ0; ((1+c)^+1x)<2^+1;

((1-(c/x))/(1+(c/x)))ⁿ<1.

7) 1/(1+x²)= 1-x²+x⁴+…+(-1)^kx^2k+… - x<1;

arctg(x)=x-x³/3+x⁵/5+…+(-1)^kx^2k+1/(2k+1)+… x x<1

x=-1 – расх; x=1 – сх;

arctg(1)=/4=1-1/3+1/5-1/7+…

___________6___________________________________________

Определение и свойства меры Жордана. Критерий измеримости множества.

R_n, k0, x_i=m/10^k mZ ; Q^k_(m1,..,mk)={x: m_i/10^kx_im_i+1/10_k, i=1,..,n} – n-

мерный куб. T_k={Q^k}; Rn=U[m₁,..,m_n](Q^k_(m1,..,mn)); (Qⁿ)=(1/10^k)ⁿ; S=U[i=1..m](Q^k_i) => (S)=m(1/10^k)ⁿ; S=U[1..](Q^k_i); (S)=+;

X: Sk(X)=U[Q^kX](Q^k); sk(X)=U[Q^kX](Q^k) ;

s_k(X)s_k+1(X) m(s_k(X)) 

S_k(X)S_k+1(X) => m(S_k(X))  =>

lim((s_k(X)))=_*(X) – нижняя мера Жордана

lim((S_k(X)))=^*(X) – верхняя мера Жордана

Опр.: X – измеримо по Жордану если ^*(X)=_*(X)=(X)<+

Св-ва: 1) Если ^*(X)=0, то X измеримо, (X)=0. Д-во: 0_*(X)^*(X)=0 =>

=>^*(X)=_*(X)=0 ‡ 2) X – ограничено => ^*(X)<+. Д-во:  Q={x_im}

xQ => S_k(X){xm+1}=Q₂; (S_k(x))(Q)=(2(m+1))ⁿ => ^*(x)<+‡

3) Если X – неограниченно: ^*(X)=+, X – не измеримо. Д-во: XS_k(X) =>

S_k(x) – неограниченно => S_k(X) – содержит  число кубов => (S_k(X))=+‡‡

Теор.: A – измеримо по Жордану <=> A ограничено и m(A)=0.

A – граница мн-ва A;

Å={xA,  B(x,)A} – мн-во внутр. точек ;

(Rⁿ\A ) – мн-во внешн. точек; A={x:  B(x,)A, B(x,)(Rⁿ\A)}

Rn= ÅA(Rⁿ\A); Ā=AA= ÅA – замыкание A

Д-во: 1)  =U[Q^kS_k(A),Q^ks_k(A)](Q^k);  =S_k\s_k ; (_k)=(S_k)-(s_k); A_k(A)S_k(A);  A – измеримо => A – огр. ; (_k(A))=(S_k)-(s_k), (S_k)(A), (s_k)(A), k; =>^*(A)=0 => A – измер., m()=0.

2) m(A)=0 => lim[k]((S_k(A)))=0 => lim[k](_k(A))=0 =>

(S_k)-(s_k)=0

 кон. _*(A),^*(a) =>_*(A)=^*(A)

Сл.1. (A)=(B)=0 => AB – измер. (AB)=0. Д-во: ^*(AB)^*(A)+^*(B)- ?; Q=S_k(AB) => QS_k(A) или QS_k(B) => S_k(AB)(S_k(A)S_k(B)); (S_k(AB))(S_k(A))+(S_k(B)), (S_k(A))0, (S_k(B))0, k => ^*(AB)=0.

Cл.2. A,B – измеримы => AB, AB, A\B – измеримы. Д-во: (AB)AB; (AB)AB; (A\B)AB;  x(AB)=> x(Rⁿ\A)

x(Rⁿ\B); Если xÅ и xB => x(ÅB) => x(AB) => xA или B => xAB; A,B – изм. => (A)=0, (B)=0 =>(AB)=0 => ((AB))=0 =>AB – изм. и т. д.

Сл.3. A – измеримо => Ā – измеримо, (Ā)=(A). Д-во: Ā=AA => (Ā)(A)+(A)=(A); AĀ