____________________________________19_________________

Ориентация поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода.

Опр.: S=(r(u,v); (u,v)G) непр. диффер., S- гладкая, если на ней нет особых точек: r_n0, r_u0.

] S-гладкая поверхность n=(r_u xr_v)/ r_u xr_v-еденичная нормаль - непр. ф-ция на S. # т.к.  только 2 нормали v и –v то:

S⁺=(S,n),S^-=(S,-n) - ориенация пов-сти. # S-непр.диффер. пов-сть.

]R³, S=. S- гладкая пов-сть. S- кусочно гладкая пов-сть если S=[i=1]S , S_i-гладкая.

] S- кусочно гладкая пов-сть: R³, S=, на S  внешняя и внутренняя нормали:S⁺=(S,n),S^-=(S,-n)

z=f(x,y) (x,y)G

r_u xr_v=i j k 

 1 0 f_x =-f_xi - f_yj + k.

 0 1 f_y 

r_u xr_v=(1+f_x'²i - f_y'²j)

n=(r_u xr_v)/ r_u xr_v=-f_x/()i – f_y/()j + 1/()k.

cos(n,k)=1/()>0 угол м/у n и осью OZ острый.

S⁺=(S,n)-вегхняя сторона ,S^-=(S,-n)-нижняя сторона

Поверхностный интеграл 1-го рода.

S=(r(u,v); (u,v)G) , F(x,y,z) S

∫∫_S F(x,y,z)ds=def=∫∫_G F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))( g₁₁g₂₂-g₁₂²)dudv

1. Инт. 1-го рода не зависит от ориентации.

2. ] F=1()=∫∫_Sds=∫∫_G( g₁₁g₂₂-g₁₂²)dudv

3. z=f(x,y) ∫∫_S F(x,y,z)ds=∫∫_GF(x,y,f(x,y))(1+f_x²+f_y²)dxdy

Физ. смысл: Если F(x,y,z)- плотность в-ва на поверхности S, то масса M=∫∫_SF(x,y,z)ds

__________________________________________22___________

Соленоидальные векторные поля.

Непрерывное в области GR³ векторное поле a называется соленоидальным в этой области, если для любой ограниченной области DG с кусочно гладкой границей GG его поток через эту границу равен нулю.

Заметим, что если поток векторного поля через какую-либо поверхность равен нулю при некотором выборе ориентации этой поверхности, то он, очевидно, равен нулю и при противоположной ориентации ( при изменении ориентации поверхности абсолютная величина потока не меняется, может только измениться его знак). Поэтому понятие соленоидальности не зависит от выбора ориентаций на поверхностях G, рассматриваемых в определении соленоидальности поля.

Теорема: Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в некоторой обла-сти векторное поле a было соленоидальным, необходимо и достаточно, что-бы во всех точках этой области его дивергенция равнялась нулю: div a=0 (1)

Док-во: Необходимость: Пусть векторное поле a соленоидально в области G и MG. Поскольку точка M – внутренняя для G, то все достаточно малые по диаметру шары D с центром в этой точке содержатся вместе с их границами D в области G (рис). В силу соленоидальности поля a для этих шаров имеет место равенство , а следовательно

Достаточность: Если выполняется условие (1), то для любой области DG с кусочно гладкой границей DG в силу формулы Гаусса-Остроградского имеем

рис.

G

D

M

________________________________________21_____________

Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции.

Опр. a = (P,Q,R) ‡ div a = (,a) = P_x` + Q<sub>y</sub>` + R_z`

Теор. (Форм. О-Г)

GR³ ‡ G-область, G – кусочно гладкая. P,Q,R,P_x`,Q<sub>y</sub>`,R_z` C(G)

S⁺=(S,n), n-внешняя нормаль. ‡ a = (P,Q,R) ‡ _Gdiva = _S+(a,ds)

Тройной интеграл от дивергенции поля по области G равен потоку поля через границу поверхности в направлении внешней нормали.

_G div(a)dxdydz = _S+Pdydz+Qdxdz+Rdxdy

Док. G = { (x,y,z); (x,y)D; (x,y)z(x,y); ,C(D) } (постр. рис: цилиндр, проектир. в область D(x,y), сверху ограничен поверхностью (x,y)-S₁, а снизу (x,y)-S₂; боковая поверхность – S₃ )

G – элем. по OZ. ‡ S=G ‡ S=S₁S₂S₃ ‡ _G R_z`dxdydz = _SRdxdy

_GR_z`dxdydz = <sub>D</sub>dxdy<sub>(x,y)</sub><sup>(x,y)</sup> R<sub>z</sub>`dz = _D (R(x,y, (x,y))-R(x,y,(x,y))dxdy(*)

‡‡ _DR(x,y,(x,y))dxdy = _S1+ R(x,y,z)dxdy ‡

_DR(x,y,(x,y))dxdy = -_S2+ R(x,y,z)dxdy ‡

_S3+ R(x,y,z)dxdy = _S3 R(x,y,z)cos(n,oz)dxdy = 0 ‡‡

(*) = _S+Rdxdy ‡ _Gdiva = _S(a,n)ds ‡

Если G = _i=1ⁿ G_i ‡ G_i – элемент. облась, то  _Gi  Ф-ла О-Г для G

Теорема (Инвар. опред. дивергенции)

a – непр. дифф. в G ‡ M₀G ‡ D­_m=M₀ ‡ diam D_n ­_m 0 

div a(M₀) = lim­_m (1/(D_m)) _Dm+(a,ds)

D_m – кусочно гладкая