______________________________________________24_______

Потенциальные векторные поля.

GR³ ‡ a = (P,Q,R) в G ‡ a потенциально, если  U в G a = U

U_x = P ‡ U_y = Q ‡ U_z = R ‡

Зам. _(a,dr), где  соединяет точки кривой A и B, не зависит от  для  A и B

 циркуляция поля a по любому замкнутому контуру = 0 _{1 *}B

Док. (.) _1+(a,dr) = _2+(a,dr)  _L(a,dr) = _2-_1 = 0 _L

(.) 0 = _L (a,dr) = _2 - _1  _1 = _2 A _{* 2}

Теор. a – потенциально  циркуляция a по  замкнутому контуру = 0

Док. (.) ] a потенциально. a = U ‡ a = (P,Q,R) ‡

 : {x(t), y(t), z(t) } a  t  b ‡ _(a,dr) = _+Pdx+Qdy+Rdz =

= _a^b P(x(t), y(t), z(t)) x_t`dt + <sub>a</sub><sup>b</sup> Q( x(t),y(t),z(t) ) y<sub>t</sub>`dt + _a^b R( x(t),y(t),z(t) ) z_t`dt =

= _a^b (U_x`x<sub>t</sub>` + U_y`y<sub>t</sub>` + U_z`z<sub>t</sub>`)dt = _a^b(du/dt)dt = U(b) – U(a) – независит от 

(.) MG ‡ U(A) = 0 ‡ U(M)=_+(a,dr)

⁺ соединяет A и M ‡  >0: B(M,)G G 

M(x,y,z), N(x+h,y,z)B(M,) ‡ |h|< M _* N

U(x+h, y, z)- U(x,y,z) = U(N)-U(M) = _MN(a,dr)- _(a,dr)= A

=_MN(a,dr) = _x^x+h P(t,y,z)dt = т-ма о среднем = hP(x­₀,y,z) ‡

x₀(x,x+h) ‡ x₀=x₀(h) ‡ dy=0 ‡ dz =0 ‡ h0 ‡ x₀(h)x

P(x₀,y,z)  P(x,y,z)   lim_h0 {(U(x+h,y,z)-U(x,y,z))/h } = P(x,y,z) = U_x` = P

Аноголично U_y`=Q ‡ U<sub>z</sub>`=R

Опр1. GR² ‡ G-односвязна, если  замкнутой кусочно-гладкой кривой G, G ‡ =S (S-ограниченная область)  SG (т.е G – не имеет “дыр”).

Если G ограниченная, то G – замкнутый контур  G односвязно.

Опр2. GR³ ‡ G-односвязна, если для  замкнутого кусочно-гладкого контура ⁺  ориентированная кусочно-гладкая поверхность S

Oпр3. XRⁿ ‡ X-односвязано, если для  замкн. контур можно непрерывно стянуть в точку.

Теор. GR³ ‡ G-односвязно ‡ a-непр. диффер. в G ‡ a-потенциально 

rota=0

Док. (.) (для G) a=U ‡ P=U_x ‡ Q=U_y ‡ R=U_z

P_y=U_xy, Q_x=U_yx  P_y = Q_x i j k

P_z=U_xz, R_x=U_zx  P_z = R_x  rota = /x /y /z

Q_z=U_yz, R_y=U_zy  Q_z = R_y P Q R

(.) G – односвязна, rota = 0 ‡ L – кусочно глад. замкн. контур  S – ориент. кусочно-глад. пов-ть. S=L  _L(a,dr) = ф.Стокса = _S(rota,ds) = 0

Зам. GR², G-односв. a-потенциал.  Q_x = P_y

Сл. G – односв. область ‡ Pdx+Qdy+Rdz – полный диф. (т.е  U :

dU=Pdx+Qdy+Rdz)  { P_y=Q_x | P_z=R_x | Q_z=R_y )

____________________________________________23_________

Формула Стокса. Геометрическое определение вихря.

Опр. _Г+ (a,dr)-цирк. поля а по крив. Г⁺- замкн., кусочногладк.‡‡Теор(ф-ла Стокса) a=(P,Q,R) непр. дифф. в GR³; S: r=f(x,y), SG_Г+ (a,dr)=_­S+ (rot a,dS) Или _Г+ Pdx+Qdy+Rdz=_­S+ |матрица, написа ниже| ds; (rot a,n)=(,a,n)‡

Док.: _Г+ P(x,y,z)dx=_a^b P(x(t),y(t),f(x(t),y(t))) x_t`dt=<sub>D+</sub> P(x,y,f(x,y))dx=<sup>ф-ла Грина Q=0</sup> =<sub>D</sub> -P<sub>y</sub>`dxdy=-_D([P(x,y,z)/y]+[P(x,y,z)/z][f(x,y)/y])_z=f(x,y) dxdy=

=-_D [P(x,y,f(x,y))/y]dxdy-_D [P/z] f_y` dxdy=<sub>S+</sub> [P/y]cosdS-<sub>S+</sub> [P/z] f<sub>y</sub>` cos dS=-_S+ [P/y]cosdS+_S+ [P/z] cos dS‡

n=(-f_x/(1+f_x²+f_y²), -f_y/(1+f_x²+f_y²), 1/(1+f_x²+f_y²))=(cos,cos,cos)‡

_Г+ Pdx=_S+ ([P/z] cos-[P/y]cos)dS‡_Г+ Qdy=_S+ ([Q/x] cos-

-[Q/z]cos)dS‡_Г+ Rdz=_S+ ([R/y] cos-[R/x]cos)dS‡

_Г+ (a,dr)=сумма трех последних тнтеграллов, типа _S (.......)dS‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡

i j k

Опр. Ротор поля a: rot a =  x a = /x /y /z =

= i(R_y`-Q<sub>z</sub>`) + j(P_z`-R<sub>x</sub>`)+ k(Q_x`-P<sub>y</sub>`) P Q R

Формула Стокса: _+(a,dr) = _S(rota, n)ds Поток ротора векторного поля равен через поверхность равен циркуляции этого векторного поля по краю поверхности, ориентированному согласованно с нормалью к поверхности.

Геометрическое определение ротора

a = (P,Q,R) непр. и дифф. в G

|n|=1 ‡ (rota, n) ‡ M₀G ‡ n ‡ M₀ ‡ M₀SG ‡ ⁺=S – согласовано с n

Теор. (rot a(M₀), n) = lim_diamS0 (1/(S)) _+(a,dr)

Док. = теорема о среднем = (S)(rota,n)(M) ‡ MS ‡

diam S0  MM₀  (rota,n)(M)  (rota(M₀),n) 

(rota(M₀),n) = lim_diamS0 (1/(S)) _+(a,dr) – не зависит от системы координат.

__________________________________________________26___

Нормированные и банаховы пространства, примеры.

Х – линейное над R(C), если х,у  Хх+уХ  ,R.

{x_n}Х-линейно независимый, если  конечное подмножество {x_n} лин. независимо.

([1..n] c_i x_ni=0  c₁= c₂=.. c_n=0) EX L(E)= [1..n] c_i x_i ;x_iE – лин. оболочка.

Опр. Х – линейное пространство,

[]: XR x[x]- норма х([x] заменяет двойные палочки x), если :

1. [x]0, [x]=0x=0

2. [x]=[x]   R(C)- однородность

3. [x+y][x]+[y]

Х – нормированное пространство

Сл. 1) [x₁+x₂+ ..x_n][x₁]+ [x₂]+ [x_n]

2) [x+y][x]-[y]

Пусть Х-нормированное пространство (x,y)=[x-y] (X,)-метрическое пр-во.

X,[x], (x,y)=[x-y], EX E ограничено,  с>0 EB(0,c)

Опр. Х-нормир. пространство. Если Х-полное(по [х-у]), то Х называется банаховым простр-вом.(С.Банах 1895-1945)

Примеры:

1) l_n^p =(Rⁿ,[x]_p=[1..n]x_i^p)^1/p 1p<+

p= l_n^ [x]_=maxx_i(1in);_p(x,y)=[x-y]_p; l_n^p- полные.

2) l ^p={x={x_i}[ x_i]_p =[1..n]x_i^p)^1/p } Норма определена для посл-тей, для которых ряд сходится.

[1..n]x_i^p)^1/p<+ 1p<+

l^ ={x= {x_i} [x] =maxx_i<+}; l ^p-банаховы

p=1; l ¹; [x]= [1..]x_i

{x^(m)}-фундам. послед. в l¹

>0  N p,q>N [x^(p)- x^(q)]<  x l¹ [x] x_ii=1,2..  x_i

lim_mx_i^(m)= x_i ;x= {x_i}i=1..

{x^(m)}- ограничено в l¹

 с>0 [x^(m)]<c nN [1..n]x_i c  n  [1..]x_i c (ряд сходится)

3)С[a,b], _ - полное [f]=max_[a,b]f(x) банахово

(f,g)= max_[a,b]f(x)-g(x)= _(f,g)

________________________________________________25_____

Метрические пространства, определения, примеры.

Опр. 1.X – множество

(x,y)R, :X  XR

1)(x,y)0 (x,y)=0x=y;;

2)(x,y)=(y,x);;

3)(x,z)(x,y)+(y,z)

(X,) – метрическое пространство  - метрика (расстояние)

Опр.2. В(a,R)={xX:(a,x)<R} – шар радиуса R

3.EX, E – ограниченное множество, если  B(a,R) EB(a,R)

4.GX,G – открыто, если  xG  B(x,r)G

5.{x_n} имеет предел х lim_nx_n =x  lim_n(x,x_n)=0.

Свойства :

1.Если  lim_nx_n =x, то он единственный

2. Если  lim_nx_n =x, то {x_n}ограничено.

Опр.6.FX, F-замкнуто, если оно содержит все предельные точки

x_n F, x_nxxF

Утв. G-открыто  X\G – замкнуто

Примеры: 1) R,(x,y)=x-y

2) C,(x,y)=x-y

3) Rⁿ _p(x,y)=([1..n] x_i- y_i^p)^1/p 1p<+

Нер-во Минковского – нер-во треугольника ([1..n]a_i+b_i^p)^1/p([1..n]a_i^p)^1/p+([1..n]b_i^p)^1/p

Серия метрических пространств (Rⁿ,_p) _=max _1inx_i - y_i

4)C[a,b] f(x) (f,g)= max _x[a,b]f(x) – g(x)

Нер-во треугольника f,g,hC[a,b] f(x)-h(x)f(x)-g(x)+g(x)-h(x) (f,g)+(g,h); _- равномерная (Чебышевская) метрика

(fn,f)_n0maxfn(x)-f(x)0fn>>f (>> - равном.сходится)[a,b]

(C,_p), _p=(_a^bf(x)-g(x)^pdx)^1/p 1p+ (_a^bu(x)+v(x)^pdx)^1/p(_a^bu(x)^pdx)^1/p+(_a^bv(x)^pdx)^1/p

_p(fn,f)0 (_a^bfn(x)-f(x)^pdx)^1/p0 p=2 – сход в смысле средн.квадратичного

5)R[a,b]- абсолютно интегр. по Риману

(f,g)= _a^bfn(x)-f(x)dx-не метрика  fR[a,b] f0 _a^bf(x)dx=0

6) C^k[a,b] f,g C^k[a,b] M_j=maxf^(j)(x)- g^(j)(x) (f,g)=max(M1,M2..Mk)

(fn,f)0 fn^(j)(x)>> f^(j)(x) (n,на [a,b]) j=1,2..k

7)X-произвольное множество. Его можно превратить в метрическое пространство: (x,y)=0(x=y),(x,y)=1(при xy)(X,)-метрич. пр-во.

x_nx  N,n>N x_n=x.