______________________12_______________________________

Криволинейные интегралы 2-го рода, свойства.

При изучении физических полей часто встречаются интегралы вида:

_Гadr=_ГPdx+Qdy+Rdz, где a=(P,Q,R)-векторное поле на кривой Г, а dr=(dx,dy,dz). Сформулируем определение интегралов такого вида. Пусть Г –

гладкая ориентированная кривая, r=r(s)=(x(s),y(s),z(s)), 0sS, - ее векторное представление, в котором за параметр s взята переменная длина дуги, и, следовательно, A=(x(0),y(0),z(0))-начальная, а B=(x(S),y(S),z(S))-конечная точки кривой Г. Пусть  = dr/ds=(dx/ds,dy/ds,dz/ds) (1) -единичный касательный вектор к кривой Г, направление которого соответствует выбранному отсчету длин дуг. Если вектор  образует с координатными осями углы ,и , то  = (cos , cos , cos ) (2). Из (1) и (2) следует cos =dx/ds,cos =dy/ds…

Пусть на кривой Г задано векторное поле a=a(x,y,z), точнее a=a(x(s), y(s),z(s)), 0sS. Обозначим координаты вектора a через P,Q,R: a=(P,Q,R) (ясно, что P,Q и R также являются функциями точки кривой Г).

Определение: Криволинейным интегралом второго рода от векторной функции a=(P,Q,R) по кривой AB называется интеграл _ABads (1).

Этот криволинейный интеграл обозначается _ABadr. Таким образом

_ABads=^def_ABadr. Из этого определения видно, что криволинейный интеграл второго рода сводится к криволинейному интегралу первого рода специального вида. Интеграл _ABadr обозначается также _ABPdx+Qdy+Rdz, где под знаком интеграла написано в координатной форме скалярное произведение векторов a=(P,Q,R) и dr=(dx,dy,dz). Также _ABPdx+Qdy+Rdz= (Pcos  +Qcos  + R cos )ds.

Свойства: 1) Если функция a=a(x,y,z) непрерывна на кривой AB (т.е. ее координаты P,Q,R непрерывны на кривой Г как функции ее параметра), то интеграл _ABdr существует. Док-во: В силу непрерывной дифференцируемости кривой AB и непрерывности на ней функций P,Q и R подынтегральная функция в криволинейном интеграле первого рода, стоящем в правой части равенства (1), является непрерывной, а , этот интеграл существует.

2) При изменении ориентации кривой криволинейный интеграл второго рода меняет только знак: _BAadr = - _ABadr

3) Если AB – гладкая ориентированная кривая, r=r(t)=((t),(t),(t)), atb, - ее векторное представление, то _ABadr=_a^bar’dt

____________________11_________________________________

Криволинейные интегралы первого рода.

] Г={M(s); 0sS}- кривая в R³ (в частности в R²), M(s)=(x(s),y(s),z(s)),s- переменная длина дуги, ] задана числовая ф-ция F(x,y,z), (x,y,z)Г. M(0)=A, M(S)=B, 0sS АB- дуга.

Опр.: криволинейным ∫ 1-го рода от ф-ции F по кривой АВ наз. ∫ : ∫_А^ВF(x(s),y(s),z(s))ds. Этот ∫ обозначается ∫_АВF(x,y,z)ds. Таким образом, ∫_АВF(x,y,z)ds=∫₀^S F(x(s),y(s),z(s))ds.

Св-ва:

1. Если F непр. на кривой АВ (т.е. ф-ция F(x(s),y(s),z(s)) непрерывна на отрезке [0,S]), то ∫_АВFds - .

2. Кр. ∫ не зависит от ориентации кривой: ∫_АВFds=∫_ВАFds

Д-во: M=M(s), 0sS s*-длина дуги отсчитываемая от В, s^*=S-s, ds^*=-ds, а так как s=S-s^*, то M=M(S-s^*)=(x(S-s^*),y(S-s^*),z(S-s^*)), 0s^*S. Поэтому ∫_ВАF(x,y,z)ds=∫₀^SF(x(S-s^*),y(S-s^*),z(S-s^*))ds^*=-∫_S⁰ F(x(s),y(s),z(s))ds=∫₀^S F(x(s), y(s), z(s))= ∫_АВFds.

3. ] кривая Г – гладкая, заданная : x=(t), y=(t), z=(t). В этом случае переменная длина дуги s=s(t) может быть принята за параметр: Г={x(s),y(s),z(s)}, и таким образом:

x(s(t))=(t), y(s(t))=(t), z(s(t))=(t), atb. (*)

Тогда имеет место формула: ∫_ГFds=∫_a^b Fs'dt=∫_a^b F((t), (t), (t) (['(t)]²+ ['(t)]²+ ['(t)]²)dt.

Д-во:

∫_ГFds=∫₀^S F(x(s),y(s),z(s))= * =∫_a^bF((t),(t),(t))s'(t)=

s=s(t); s'(t)= (['(t)]²+ ['(t)]²+ ['(t)]²)

= ∫_a^b Fs'dt=∫_a^b F((t), (t), (t) (['(t)]²+ ['(t)]²+ ['(t)]²)dt.

__________________________14___________________________

Замена переменных в двойном интеграле.

с d a b f(x);  вз/одн. С ` [c,d]

(t) (c)=a; (d)=b

_a­^b f(x)dx=_c^d f((t))`(t)dt

‡‡‡

G, D- огр. обл.; G, D- кусоч. гладкая. v y

F=( x(u,v), y(u,v) ); x,y= C¹(D); F

F- вз/одн.;

J= (x,y) = x`<sub>u</sub> x`_v  0 в D u x

(u,v) y`<sub>u</sub> y`_v

‡Теор. fC(G)_G f(x,y)dxdy=_D f(x(u,v),y(u,v))| ^(x,y) / _(u,v)|dudv‡

Док. D={u(t),v(t), atb} (x)



G={x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),

atb } (x)

x(u,v)C²(D)‡‡_G f(x,y)dxdy=

P(x,y)=_(x)^y f(x,y)dz , cxd , (x)y(x), =1, D- ориен. “+”

-1, D-ориен. “-”

=_G P_y`dxdy=<sup>ф-ла Грина</sup>=-<sub>D</sub> Pdx=-<sub>a</sub><sup>b</sup> P x<sub>t</sub>` dt=- _a^b P(x_u`u<sub>t</sub>`+x_v`v<sub>t</sub>`)dt=

=-_D Px_u`du+Px<sub>v</sub>`dv=^{ф-ла Грина}=-_D (Px_v`)<sub>u</sub>`-(Px_u`)<sub>v</sub>` dudv=

=-_D [ (P_x`x<sub>u</sub>`+P_y`y<sub>u</sub>`)x_v`+Px<sub>vu</sub>``-(P<sub>x</sub>`x_v`+P<sub>y</sub>`y_v`)x<sub>u</sub>`+Py_uv``]dudv=

=-_D P_y` (x<sub>v</sub>`y_u`-x<sub>u</sub>`y_v`)dudv=_D f(x,y) J dudv=_D f(x,y) [ ^(x,y) / _(u,v) ] dudv‡‡‡‡

] f1 0 (G)=_D [ ^(x,y) / _(u,v) ] dudv‡ [ ^(x,y) / _(u,v) ]>0[ ^(x,y) / _(u,v) ] =

=| ^(x,y) / _(u,v) |‡ (*): _G f(x,y)dxdy=_D f(x(u,v),y(u,v))| ^(x,y) / _(u,v)|dudv‡

Если G=_i=1ⁿ G_i, Для G_i (*)-верна(*)- верна для G‡‡‡

Геометр. смысл знака J=[ ^(x,y) / _(u,v) ]: Если J>0=1– Кривая G ориен. “+”

] F-отображ. с полож. якоб.F сохран. ориент. кривых‡Если J<0= -1; Если отобр. F имеет “-” якоб., то оно меняет ориент. кривых.‡‡‡

Геом. смысл | ^(x,y) / _(u,v)| ‡‡I(u,v)=[ ^(x,y) / _(u,v) ]‡ (G)=_G |I(u,v)|dudv

] MD: |I(M)|(D); (G)/(D)=|I(M)|‡ diam D0; M=M(D)_diamD0M₀

|I(M)||I(M₀)|‡ |I(M₀)|=lim_diamD0 [(G)/(D)]‡ |I(M₀)|- коэфф., с кот. изм. пл-дь дост. мал. обл., содерж. М₀‡

(G)/(D)|I(M₀)| если обл. (diamD) дост. ма뇇F- линейно :x=au+bv+g & y=cu+dv+h , a,b,c,d,g,hR‡[ ^(x,y) / _(u,v) ]= a b ; (G) = det a b

c d (D) c d ‡‡

F- непр. дифф. отображ.

F-локально  x`<sub>u</sub> x`_v y`<sub>u</sub> y`_v

________________________13_____________________________

Формула Грина.

!!!под интегралом: AB, CD и т.п. – дуги(над ними нужн. ставить “ ^ ”

_a^b f `(x)dx=f(b)-f(a) a b

Теор. G-кусоч. гладк.; P(x,y), Q(x,y), P_y`, Q<sub>x</sub>`C(G) _G (Q_x`-P<sub>y</sub>`)dxdy=

=_G Pdx+Qdy‡‡ (x)

Док. D G C

G={(x,y); axb; (x)y(x)} A B

,[a,b]; G-элемент по ОХ (x)

_G P_y`(x,y)dxdy=<sub>a</sub><sup>b</sup> dx<sub>(x)</sub><sup>(x)</sup> P<sub>y</sub>`(x,y)dy= a b

=_a^b P(x,y)_(x)^(x) dx=_a^b P(x,(x))dx-_a^b P(x,(x))dx=перепишем как кривол. интегр.=-_AB P(x,y)dx-_CD P(x,y)dx-_BC P(x,y)dx-_DA P(x,y)dx=Pdx

=0, тк x=b

G= G_i

G-эл. обл. G₄

_G P_y`dxdy=<sub>i=1</sub><sup>n</sup> <sub>Gi</sub> P<sub>y</sub>`dxdy= G₁ G₂ G₃

=-_i=1ⁿ _Gi Pdx=_G Pdx‡

G-эл-на по ОУ

_G Q_x`dxdy=_G Qdy‡

G= G_i , G_i– эл-на по ОХ

G= H_i , H_i– эл-на по ОХ‡‡

Следст: P,Q- в обл. G

Q_x`-P<sub>y</sub>`=1(G)_{–площадь}=_G (Pdx+Qdy)

______________________________16_______________________

Сферическая и цилиндрическая системы координат.

M(,,); 0<+; -/2/2; 02 z M

z=sin 

x=coscos 

y=cossin

(x,y,z) coscos -cossin -sincos y

———= cossin coscos -sinsin =²cos x 

(,,) sin 0 cos

_G f(x,y,z)dxdydz=_G f(coscos,cossin,sin)²cosddd‡‡

‡‡‡‡

Цилиндр. сист. коорд.

M(,,z); 0<+; 02 z M

z=z

x=cos

y=sin y

(x,y,z) cos -sin 0

———= sin cos 0 = x  

(,,z) 0 0 1

_G f(x,y,z)dxdydz=_G f(cos,sin,z) dddz‡‡

____________________________15_________________________

Переход к полярной сист. коорд. Криволинейные координаты на плоскости.

x=cos & y=sin /u=; v=/ y Г₂

[ ^(x,y) / _(u,v) ]=|........|=(cos²+sin²)= G

_G f(x,y)dxdy=_D f(cos,sin) dd= Г₁

=_^ d_()^()  f(cos,sin)d 

_G f(x,y)dxdy =_D f(cos,sin) dd  x

‡‡‡‡Кривол. коорд. v R_uv R_xy

F- вз/одноз. непр. дифф. отобр. D y G

x=x(u,v) u=u(x,y) v₀

y=y(u,v) v=v(x,y)‡‡

(x,y)G !(u,v) F(u,v)=(x,y)‡‡ u₀ u x

]u=u₀: x=x(u₀,v) -коорд-ая‡‡] v=v₀: x=x(u,v₀)- коорд. линия

y=y(u₀,v) линия y=y(u,v₀)

D={(u,v), u₀uu₀+_u, v₀vv₀+_v}‡ G={(x,(u,v),y(u,v)), (u,v)D}

G-координатный параллелограмм‡(G)=_D |I(u,v)|dudv=|I(M)| _u_v

MG (g)/( _u_v) _uv0|I(M₀)|‡‡‡‡‡

Замена перем. в Rⁿ (это наверное уже лишнее)

Rⁿ В^FGRⁿ F- вз/одноз. непр. дифф. отобр.

x=F(u), x=(x₁,...x_n)

u=(u₁,....u_n­)

x₁=x₁(u₁,....u_n­)

***********

x_n=x_n(u₁,....u_n­)

Теор. ]fR(G) _G f(x)dx=_D f(F(u))|I(u)|du‡Док. по индук, для 2 ^х уже доказ.‡

Кривол. коорд. в Rⁿ‡_G f(x)dx=_D f(F(u))|I(u)|du