__________________________________45___________________
Теорема Котельникова.(теорема отсчетов)
f(t)сигнал f^()(f^ - f с крышкой, преобразование Фурье)
прибор (спектральная функция)
Пусть f^()=0 при >a __
f(t)= (1/2)-+f^() ei td=(1/2)-a+af^() eitd (*)
[-a,a] ОС { ei k/a} kZ
f^() разложим в ряд Фурье на [-a,a] __
Ck(f^)=(1/2a) -aaf^() e-i k /ad=(2/2a)f(-k/a) C-k(f^)=(2/2a)f(k/a)
f^()=[k= -..+] C-k(f^) e-i k /a - подставим в (*)
f(t)= [k= -..+](1/2a) -aaC-k(f^) e-i k /a ei t d=
=[k= -..+](1/2a)f(k/a) -aaei (t - k/a) d
(1/2a) -aaei d=sin(a)/a
f(t)= [k= -..+]f(k/a) ( sin(a(t - k/a)) ) / a(t - k/a)
можно восстановить исходную функцию f(t) по f^(t) t по значениям отсчета f(k) , = /a.
МАТАМЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЕМЕСТР №3 /IIкурс/
1.Равномерная сходимость рядов. Критерий Коши, признак Всйерштрасса.(П)
2.Теоремы об интегрировании и дифференцировании равномерно сходящегося ряда. (П)
3.Обобщенный признак сходимости Коши для числового ряда. Формула Коши-Адамара. (П)
4.Абсол. и равном. сх. степ. ряда. Теор. Абеля. Теор. о дифф. и интегр. степенных рядов. (Д)
5.Ряд Тсйлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. (Д)
6.Определение и свойства меры Жордана. Критерий измеримости множества. (Д)
7.Конеч. аддитивность меры Жордана. Мера графика непр. ф-ции и спрямляемой кривой. (Д)
8.Опред. интегр. по Риману функции. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу. (Д)
9.Свойсва кратных интегралов.(С)
10. Сведение кратного интеграла к повторному.(M)
11. Криволинейные интегралы 1-го рода, свойства.(C)
12. Криволинейные интегралы 2-го рода, свойства.(П.Ф.)
13. Формула Грина.
14. Замена переменных в двойном интеграле.
15. Переход к полярной системе координат. Криволинейные координаты на плоскости.
16. Сферическая и цилиндрическая системы координат.
17. Поверхности в пространстве, кривые на поверхности, касательная плоскость, нормаль.(С)
18. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхн., пл-дь поверхн.(С)
19. Ориентация поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода.(С)
20. Поверхностный интеграл 2-го рода.(М)
21. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции.(М)
22. Соленоидальные векторные поля. (П.Ф.)!!!
23. Формула Стокса. Геометрическое определение вихря.(М)
24. Потенциальные векторные поля.(М)
25. Метрические пространства, определение, примеры.(П)
26. Нормированные и банаховы пространства, примеры.(П)
27. Гильбертовы пространства, тригонометрическая система, многочлены Лежандра.(Ю)
28. Свойсва коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.(Ю)
29. Ряд Фурье. Лемма о непрерывности скалярного произведения.(Ю)
30. Полные системы. Условия полноты ОНС. Равенство Парсеваля.(Ю)
31. Базис пр-ва. Связь полноты сист. и существования вектора ортогонального системе.(Ю)
32. Метод Фурье решения уравнения колебания ограниченной струны.(Н)
33. Тригонометрический ряд Фурье. Лемма Римана.(Н)
34. Ядро Дирихле, свойства. Принцип локализации.(А.С.)
35. Условия Дини и Липшица. Признак Дини. (А.С.)
36. Ядра Фейера, свойства. Теорема Фейера. (А.С.)
37. След. теоремы Фейера о сх. ряда Фурье в (.) непрер. ф-ции. Теор. Вейерштрасса о
приближении непрерывной функции многочленами. (А.С.)
38. Теоремы о дифф. ряда Фурье и о скор. убывания коэффициентов гладкой функции. (А.С.)
39. Теор. о скор. сход. ряда Фурье гладкой функции, 2-ое док-во аппроксимационной
теоремы Вейерштрасса. Интегрирование ряда Фурье.(М)
40. Преобразование и интеграл Фурье, свойства (лемма 1).
41. Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье.
42. Гладкость функций и скорость убывания преобразования Фурье.(П)
43. Пр-во быстро убывающих функций, действие преобразования Фурье на нем. (А.С.)
44. Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Формулы Бореля.(Н)
45. Теорема Котсльникова(П)
46. Решение уравнения колебания бесконечной струны. Формула Пуассона.
МАТАМЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЕМЕСТР №3 /IIкурс/
1.Равномерная сходимость рядов. Критерий Коши, признак Всйерштрасса.(П)
2.Теоремы об интегрировании и дифференцировании равномерно сходящегося ряда. (П)
3.Обобщенный признак сходимости Коши для числового ряда. Формула Коши-Адамара. (П)
4.Абсол. и равном. сх. степ. ряда. Теор. Абеля. Теор. о дифф. и интегр. степенных рядов. (Д)
5.Ряд Тсйлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. (Д)
6.Определение и свойства меры Жордана. Критерий измеримости множества. (Д)
7.Конеч. аддитивность меры Жордана. Мера графика непр. ф-ции и спрямляемой кривой. (Д)
8.Опред. интегр. по Риману функции. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу. (Д)
9.Свойсва кратных интегралов.(С)
10. Сведение кратного интеграла к повторному.(M)
11. Криволинейные интегралы 1-го рода, свойства.(C)
12. Криволинейные интегралы 2-го рода, свойства.(П.Ф.)
13. Формула Грина.
14. Замена переменных в двойном интеграле.
15. Переход к полярной системе координат. Криволинейные координаты на плоскости.
16. Сферическая и цилиндрическая системы координат.
17. Поверхности в пространстве, кривые на поверхности, касательная плоскость, нормаль.(С)
18. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхн., пл-дь поверхн.(С)
19. Ориентация поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода.(С)
20. Поверхностный интеграл 2-го рода.(М)
21. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции.(М)
22. Соленоидальные векторные поля. (П.Ф.)!!!
23. Формула Стокса. Геометрическое определение вихря.(М)
24. Потенциальные векторные поля.(М)
25. Метрические пространства, определение, примеры.(П)
26. Нормированные и банаховы пространства, примеры.(П)
27. Гильбертовы пространства, тригонометрическая система, многочлены Лежандра.(Ю)
28. Свойсва коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.(Ю)
29. Ряд Фурье. Лемма о непрерывности скалярного произведения.(Ю)
30. Полные системы. Условия полноты ОНС. Равенство Парсеваля.(Ю)
31. Базис пр-ва. Связь полноты сист. и существования вектора ортогонального системе.(Ю)
32. Метод Фурье решения уравнения колебания ограниченной струны.(Н)
33. Тригонометрический ряд Фурье. Лемма Римана.(Н)
34. Ядро Дирихле, свойства. Принцип локализации.(А.С.)
35. Условия Дини и Липшица. Признак Дини. (А.С.)
36. Ядра Фейера, свойства. Теорема Фейера. (А.С.)
37. След. теоремы Фейера о сх. ряда Фурье в (.) непрер. ф-ции. Теор. Вейерштрасса о
приближении непрерывной функции многочленами. (А.С.)
38. Теоремы о дифф. ряда Фурье и о скор. убывания коэффициентов гладкой функции. (А.С.)
39. Теор. о скор. сход. ряда Фурье гладкой функции, 2-ое док-во аппроксимационной
теоремы Вейерштрасса. Интегрирование ряда Фурье.(М)
40. Преобразование и интеграл Фурье, свойства (лемма 1).
41. Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье.
42. Гладкость функций и скорость убывания преобразования Фурье.(П)
43. Пр-во быстро убывающих функций, действие преобразования Фурье на нем. (А.С.)
44. Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Формулы Бореля.(Н)
45. Теорема Котсльникова(П)
46. Решение уравнения колебания бесконечной струны. Формула Пуассона.