____30_________________________________________________

Полные системы. Условия полноты ОНС. Равенство Парсеваля.

!!!!!!!Z- это прописная латинская L

Опр. {x_}, x_X – лин. нормиров. пр-во; EX {x_}- полна в Е, если Z({x_})- всюду плотна в E , т.е Z({x})E, т.е x E, >0

 _k=1ⁿ c_kx_k; ║x-_k=1ⁿ c_kx_k║<‡‡‡

Теор. Вейерштрассa:

1)fC[a,b], >0  pR[x]: ║f-Pn║_=max_[a,b]f(x)-P(x)<; 2) fC[-,], f(-)=f();>0  T=a₀+a₁cosx+b₁sinx+... a_ncos nx+b_nsin nx;

max_[-,] f(x)-T(x)<; какое бы маленькое  мы не взяли, всегда найдется мн-н, лежащий внутри промежутка, шириной . fC[a,b], >0;  pR[x], maxf(x)-P(x)<; ║f(x)-P(x) ║₂=(_a^b f(x)-P(x)² dx)^1/2 <(b-a);‡‡

Пример:4) C[-,],║^.║₂ ; {1,sinkx,coskx}_kN–полна ; 5) C[-,],║^.║₂, {sinkx, coskx}_kN–не полна, L=Z(sinkx,coskx)_k=1..n; f1; inf║f-y║=║f-f^*║, yL; f*=

=ⁿ _k=1 [[(f, e_k)/(e_k,e_k)]e_k]; e_k={sinkx или coskx};(1,sin kx)=(1,coskx)=0  f*=0;

║1-ⁿ _k=1 (c_ksinkx +d_kcoskx)║ ║1║=( -_^ 1 dx)=(2)  единичн. приближ невозможно  система не полна.‡‡‡Т-ма ( условия полноты ОНС)

X- пр-во со скалярн. произведением {e_n}-ОНС , EX ;СУР:

1){e_n}-полна в Е; 2)x E, x=^ _n=1 (x, e_n)e_n; 3)xE, ║x║²=_n=1^∞(x,e_n)² р-во Парсеваля‡‡ Д-во: 1)2) xE, >0,  ⁿ _k=1 _ke_k; ║x-ⁿ _k=1 _ke_k║< 

 >inf_{e1,..en}║x–ⁿ_k=1 e_ke_k║=║x-ⁿ_k=1 (x,e_k)e_k║; S_n=ⁿ_k=1 (x,e_k)e_k; ║x-S_n║<;

║x-S_n+1║= inf_{ek}║x - ⁿ⁺¹_k=1 c_ke_k║inf_{ek}║x-ⁿ_k=1 c_ke_k║=║x-S_k║;

если выполняется для n, то выполн для N>n

 m>n ║x-S_m║< S_n_nx ‡‡2)3) x=ⁿ_k=1 (x,e_k)e_k+h; h{e_k}ⁿ_k=1

║x║² =ⁿ_k=1(x,e_k) ²+║h║² ;h=x-S_n, S_nx h_n0 ║h║ _n0 ║x║²=^ _k=1(x,e_k)² ;‡‡3)1) h=r_n , ║r_n║ _n0; ║x-S_n║²_n0  S_nx

из рав-ва Парсеваля следует разложение x в ряд Фурье.

__29___________________________________________________

Ряд Фурье. Лемма о непрерывности скалярн. Произведения.

Опр. {ei}_iI- OC в X, xX, x~ _iI ((ei,x)/ (ei,ei))ei – ряд Фурье эл-та X по системе {ei}.Сл. (нер-во Бесселя)

1)] {ei}^ _i=1 - OНC ^ _i=1(ei,x)² _{- сход} ║x║² ‡ 2) {ei} – ОС, i – коэф Фурье i =(x,ei) / ║ei║², ^ _i=1i ²║ei║² ║x║² ‡ ^ _i=1 [(x,ei)²/║ei║²] 

║x║² ;‡‡ R³ , e1,e2,e3; e1,e2 –ОНС в R³ , x=e3; e3~(e3,e1)e1+(e3,e2)e1=0;

e30; {e1,e2,e3}-ОНС в R³, базис x=(x,e1)e1+(x,e2)e2+(x,e3)e3;

Пример:f(x)=x на [-,]; {1, cos kx, sin kx}; ak=1/ -_^ x cos kx dx=0; (x cos kx)- нечетная ;b_k=1/ -_^ x sin kx dx=1/(-(x cos kx)/k -_^ +

+-_^ (coskx)/k dx)=2(-1)^k+1/k; x~^ _k=1 [2(-1) ^k+1/k] sin kx; ‡‡‡

Лемма. (непрерывность скалярного произведения)

1)X, f: XXC‡f(x,y)=(x,y); f- непрерывна по x и y

2)x=^ _i=1 x_i, yX (x,y) = ^ _i=1 (xi,y)

3){ei}-ОНC; x=^ _i=1 x_ie_i; y=^ _i=1 y_ie_i (x,y) = ^ _i=1 x_iy_i

Д-во: xx₀, yy₀  (x,y)( x₀, y₀) –это нужно проверить

(x,y)-( x0, y0)|(x,y)-( x,y0)| +|(x,y0)-( x0, y0)|=|(x,y- y0)| +|(x-x0, y0)| ^{(Коша-Боняковск)}║ x║* ║y, y0║+║y0║* ║x-x0║^xx0yy00 xx0║x║<║x0║+1;

2)Sn=ⁿ _i=1 (xi), r_n=^ _i=n+1 x_i; x=^ _i=1 x_i  x=lim S_n  r_n^n0 ;

 (r_n,y) ^n0; (x,y)=(S_n+r_n,y)= _i=1ⁿ (x_i,y) +(r_n,y)_{0 при n}  (x,y) =

=^ _i=1 (x_i,y)

3){ei}-OНC ;

x=^ _i=1 x_ie_i

y=^ _i=1 y_ie_i  (x,y) = ^ _i=1 x_iy_i

Д-во: (x, y_k e_k)= (^ _i=1 xi ei, yk ek)= ^{по 2)}= ^ _i=1 (xi ei, yk ek)= (xk ek, yk ek)=

=x_ky_k ;

(x,y)=(x, ^ _k=1 y_ke_k)= ^{по 2)}=^ _k=1 (x,y_ke_k)= ^ _k=1 xkyk ;

______31_______________________________________________

Баз. пр-ва.Связь полноты сис-мы и сущ-ие. вектора ортогонального системе.

Опр. X – лин. нормир. пространство

1){x_}- лин. независ; 2)x X, x= _ с_x_  {x_}–базис пр-ва X;

Замеч 1) ] dim X<+; {x_k}ⁿ₁ –полна {x_k}ⁿ₁ –базис;‡2)Если dimX=+, то это неверно; {x_n}-базис {xn}- полна всегда.‡‡

Пример: C[a,b], ║.║_ ; 1,x,..., xⁿ – полна(не базис); fC[a,b], f=_k=0^ c_kx^k– равном сход.   f , ...,f ⁽ⁿ⁾ C[a,b] ‡‡

Следствие: {e_n}-ОНС в X; {e_n}-полная в Х  {e_n}-базис в X ‡

Д-во: . Всегда‡.{e_n}- полная xX: x=^_k=1 (x,e_k)e_k

{e_k}-базис‡‡‡Замечание: X- полное нормированное пространство;

^_k=1 x_n – сх в X   >0  N, n,m>N ║X_n+1+...+X_m║<‡Д-во:  очевид. limS_n=x ║x-S_n║0;║S_m-S_n║║S_m-x║+║x-S_n║0‡ .  >0  N, n,m>N,

║S_m-S_n║< {S_n}–фундам посл-ть   x: lim_n S_n=x‡‡‡‡

Лемма: X- гильбертово; {e_n}-ОНС, x X 1)^_k=1 (x,e_k)e_{k– сход}=x*; 2) h=x-x* h{e_n}^₁ ‡ Док-во:║x║² ^ _k=1(x,ek)² ;  >0  N, n,m>N 

^m _k=n+1(x,e_k)² <; ║^m_k=n+1 (x,e_k)e_k║²= ^m _k=n+1(x,e_k)²<^{кр. Коши}

 ^ _k=1 (x,e_k)e_{k –сход}=x*;‡ h=x-x*; (h,e_n)=_{надо показать, что это нуль}= (x,e_n)-(x*,e_n)= =(x,e_n)-_k=1^∞ (x,e_k)(e_k,e_n)=(x,e_n)-(x,e_n)=0‡‡‡

Теорема: {x_n}^₁ –лин незав в Х ;1)X–пр-во со скаляр. произ. Если {x_n} полно, то не  h, h0, h{x_n}^ ₁ ‡2)X–гильбертово, не  h, h0, h{x_n}₁^∞{x_n}– полна‡ Д-во: 1) ] h0, h{x_n}‡ >0 ║h-ⁿ _k=1 _kx_k║²<; hⁿ _k=1 _kx_k

║h-ⁿ_k=1 _kx_k║²=║h║²+║ⁿ _k=1 _kx_k║²║h║²;   >║h║²- противоречие;

{xn} – лин незав;‡‡‡

Процесс ортогонализации {e_n}-ОНС Z(x₁,...,x_n)=Z(e₁,...,e_n) {x_n}–полна  {e_n}–полна;

x X x*=^∞_k=1 (x,e_k)e_k, h=(x-x*)e_kh{x_k}h=0x=x^*x=^ _k=1(x,e_k)e_k

________32_____________________________________________

Метод Фурье решения уравнения колебания бесконечной струны.

U``<sub>tt</sub>=a<sup>2</sup>*U``xx, U(x,t)

U(0,t)=U(l,t)-конечные условия

|U(x,0)=(x)

U`_x(x,0)=(x)

U(x,t)=_n=0^V_n(x)W_n(t)

V(x)W``(t)= a<sup>2</sup>V``(x)W(t)

V``(x)/V(x)=W``(t)/( a²W(t))=-²; V(0)=0; V(l)=0;

V``(x)=-<sup>2</sup>V(x) W``(t)=- ²a²W(t)



V(0)=V(l)=0;

H-пространство функций

H={fC²[0,l], f(0)=f(l)=0}

f``(x)g(x)dx=g(x)f`(x)|<sup>l</sup><sub>0</sub>-g`(x)f`(x)dx=-g`(x)f()|<sup>l</sup><sub>0</sub>+f(x)g``(x)dx

V(x)=Acosx+Bsinx

V(0)=V(l)=0



x=0A=0; x=l Bsinl=0; B0; sinl=0l=n, n- натуральное число

_n­­­­=n/l- собственное значение

V_n(x)=sin(xn/l); V_n(x) OHC B C[0,l]

U(x,t)=sin(nx/l)(A_ncos (n/l )dt+B_nsin (n/l )dt)

U(x,0)=(x)

U``<sub>xx</sub>=a<sup>2</sup>U``_xx (x)=U(x,0)=An(sinnx/l)

U(0,t)=U(l,t)=0;

A_n=((x)sin(nx/l)dx)/(^l₀(sin(nx/l) ²dx=(1/l)(x)sin(nx/l)dx

U_n(x,t)=sin(nx/l)(A_ncos(nat/l)+B_nsin());

(U_n(x,t))`_t=sin(nx/l)(-A_n(na/l)sin(nat/l)+B_n(na/l)cos(nat/l))

(x)=U`_t(x,0)=_n=^₁B_n(na/l)sin(nx/l)

B­_n=1/(na)^l₀(x)sin(nax/l)dx

U_n(x,t)=C_nsin(nx/l)*(sin(nat/l)+_n)

na/l-частота C_n=A_n²⁺B_n²

Звук соответств. n=1; n=2,3...-обертоны

__________33___________________________________________

Тригонометрический ряд Фурье. Лемма Римана.

fC[-,] {1,sinkx,coskx}-полна

f(x)=a₀/2+^_k=1a_kcoskx+b_ksinkx сход. в || ||₂

^_-|f(x)|²dx=|a₀|²/2+^_k=1|a_k|²+|b_k|² (равенство Парсеваля)

Замеч. Пополнение C[a,b], || ||₂ L²[a,b] -пространство Лебега

^b_a|f(x)| ²d<+ -мера Лебега

Опр.R₁[a,b]  ^xi+1_xi|f(x)|dx (в несобств. смысле)  [,](x_i-1,x_i)  ^_|f(x)|dx

R₂[a,b]|f|²R₁[a,b]

Опр. fR­₁[-,]

a_k=^_-f(x)coskxdx b_k=^_-f(x)sinkxdx kN{0}

f~ a₀/2+^_k=1a_kcoskx+b_ksinkx 1/2(a_k-ib_k)

S_n(x)= a₀/2+^_k=1a_kcoskx+b_ksinkx=C_ne^ikx C_k= 1/2a_k

1/2(a_k+ib_k)

f~C_Ke^ikx

Поточечная сходимость ряда Фурье.

Лемма(Риман)

fR₁[,]=> ^_f(x) e^ixdx0 при 

Док-во ],- особые точки f, [c,d](,)

 ^d_cf(x)dx-собств. >0 a,b(,)

^a_|f(x)|dx+^_b|f(x)|dx< |^_f(x) e^ixdx -^b_af(x) e^ixdx|=|^a_f(x) e^ixdx +^_bf(x) e^ixdx|  ^a_|f(x)|dx +^_b|f(x)| dx<

: a=x₀<x₁<...<x_n=b; m_i=inf f(x)

^b_af(x)dx-_i=1ⁿm_ix_i< g(x)=m_i; x[x_i-1,x_i)

_i=1ⁿm_ix_i=^b_ag(x)dx^b_a(f(x)-g(x))dx<a;

|^b_af(x) e^ixdx -^b_ag(x) e^ixdx|=|^b_a(f(x)-g(x)) e^ixdx|^b_a|f(x)-g(x)|dx<

^b_ag(x) e^ixdx=_i=1ⁿm_i^xi+1_xi e^ixdx=|1/(i)_i=1ⁿx_i(e^ixI-e^ixI-1) 1/|x|²(ⁿ_i=1|x_i|)0 при



____________34_________________________________________

Ядро Дирихле, свойства. Принцип локализации.

S_n(x)=[k=-n..n]((1/2)(int[-..](f(t)e^-iktdt))e^ikx=(1/2)int[-..](f(t)*

[k=-n..n]e^ik(x-t)dt): Dn(u)=[k=-n..n]e^iku=[*] - геом.прогр., q=e^iu;

q^-n+q^-n+1+..+qⁿ=q^-n(1+q+..+q²ⁿ)=q^-n(q²ⁿ⁺¹-1)/(q-1)=(qⁿ⁺¹-q^-n)/(q-1);

[*]=(e^i(n+1)u-e^-inu)/(e^iu-1)=e^iu/2(e^i((2n+1)/2)u-e^{-i((2n+1)/2)u})/(e^iu/2(e^iu/2-e^-iu/2))=

=(sin((2n+1)u/2)/(sin(u/2)) – ядро Дирихле; тогда

Sn(x)=1/(2)int[-..]f(t)Dn(x-t)dt

Опр. f, g - 2-период. ф-ции, (f*g)(x)=int[-..]f(t)g(x-t)dt – свертка.

g*f=int[-..]f(x-t)g(t)dt=[x-t=u; du=-dt]=-int[x+..x-]f(u)g(x-u)du=

=int[x-..x+]f(u)g(x-u)du=int[-..]f(u)g(x-u)du=f*g; Dn(u)=(sin((n+1/2)u)/sin(u/2)

Ла(св-во ядер Д)

1)Dn(u) - 2-период., четная, непрер. 2)1/(2)int[-..]Dn(u)du=1;

3)]0<<  int[..]Dn(u)du0[n]

Дво. 1)очевидно, 2)Dn(u)=[k=-n..n]e^iku; (1/2)int[-..]Dn(u)du=

=[k=-n..n](1/2)int[-..]e^ikudu=(1/2)int[-..]e^i*0*udu=1

\ =0 при k0 /

3) >0; int[..](1/sin(u/2))sin((2n+1)*u/2)du0[n по Ле Римана]

f(u)=1/sin(u/2) R₁[;]

Та (принцип локализации).

f(x), g(x)R₁[-;]; U_(x)=(x-;x+): f(t)=f(t)tU_(x); f~[k=-..+]c_ke^ikx(1); g~[-;+]d_ke^ikx(2). Ряды (1) и (2) сх. или расх. одновр., если сх, то их суммы совпад. (не обязат. =f(x), g(x)), т.е. яД сосред., в осн, в окр. нуля.

Дво. Sn(x)=(1/2)int[-..]f(x-t)Dn(t)dt=(1/2)(int[-..0]+int[0..])

int[-..0]f(x-t)Dn(t)dt=[u=-t]=-int[..0]f(x+u)Dn(-u)du=int[0..]f(x+u)Dn(u)du

Sn(x)=(1/2)int[0..](f(x-t)+f(x+t))Dn(t)dt=(1/2)int[0.. ](f(x-t)+f(x+t))Dn(t)dt+

(1/2)int[..]((f(x-t)+f(x+t))sin((2n+1)*t/2)/sin(t/2))dt;h(t)=(f(x-t)+f(x+t))/sin(t/2)

h(t)R₁[;]Ла Римана к g(t)=(f(x-t)+f(x+t))/sin(t/2) 

Sn(x)= (1/2)int[0..](f(x-t)+f(x+t))Dn(t)+o(1)0[n];; x-t; x+t [x-;x+]; Если lim[n]Sn(f,x), то lim Sn(f,x)=lim int[0..]f(..)+f(..)Dn(t)dt;

если f(U_(x))=g(U_(x)) (т.е. f |_U(x)=g|_U(x))

int[0..](f(x-t)+f(x+t))Dn(t)dt=int[0..](g(x-t)+g(x+t))Dn(t)dt

______________35_______________________________________

Условия Дини и Липшица. Признак Дини.

Опр. f в окр. U(x);

1)f(x+0)=lim[t0⁺]f(x+t); f(x-0)=lim[t0⁺]f(x-t)

2)>0: int[0..] |(f(x+t)-f(x+0))/t)|dt – сх, int[0..] |(f(x+t)-f(x-0))/t)|dt – сх

f удовл. условию Дини в (.)x

Опр. f непр. в U(x). (0;1]: |f(x+t)-f(x)|<M|t|^ f удовл. усл. Липшица с показателем  (т.е.в (.)x f не может расти слишком быстро)

=1  внутри конуса не м. нах-ся др. знач-я ф-ии: X

=1/2  повернутые параболы: )( (график вспомнить самостоятельно)

Усл. Липшица  усл. Дини:

|f(x+t)-f(x)|<M|t|^; int[0..](1/(t^1-))dt – сх. при 0<1

Пр.1 fC¹[a;b]; f удовл. усл. Липшица с =1: ]M=max[a;b]|f ' (x)|

ф-ла Лагранжа: |f(x+t)-f(x)|=|f '(c)*t|[c(x,x+t)]M*|t| (t – длина промежутка)

Пр.2 f – куc/непр. дифф. на [a,b]

x0 x1 x2 x(n-1) xn

|––|––|––|––|–––|––| fC¹[x_i-1;x_i] f удовл.усл.Липшица[=1]усл. Дини.

a b M_i=max[x_i-1;x_i] |f ‘(x)|; M=max {M_i} [1in]

Пр.3 f(x)=sign(x); f(x) удовл. усл.Дини в xR, но не Липшица (оно сильнее)

Та (признак Дини)

]fR₁[-;], в (.)x удовл. усл. Дини  [k=-..+]c_ke^ikx=(f(x-0)+f(x+0))/2

Зам. Если f непр. в (.)x и усл. Дини  [k=-..+]=f(x)

Дво.Sn(x)=(1/2)int[0..](f(x-t)+f(x+t))Dn(t)dt=(1/)int[0..](f(x-t)-f(x-0))/2+

(f(x+t)-f(x+0))/2)Dn(t)dt+(1/)int[0..](f(x+0)+f(x-0))/2)Dn(t)dt=

=(f(x+0)+f(x-0))/2+(1/)int[0..]((f(x-t)-f(x-0))/2)Dn(t)dt+

(1/)int[0..]((f(x+t)-f(x+0))/2)Dn(t)dt;;

]g(t)=(f(x+t)-f(x+0))/(2sin(t/2)); int[0..]g(t)sin((n+1/2)t)dt; t0; 2sin(t/2)~t;

int[0..]((f(x+t)-f(x+0))/t)dt – сх (по усл. Дини)

int[0..]|(f(x+t)-f(x+0))/2sin(t/2)|dt – сх; этот int[..] |...|dt<+ (fR₁[-;])

;gR₁[0;]по Ле Римана сх. к g(t): int[0..]g(t)sin((n+1/2)t)dt0[n] _

Зам. 1)fC[-;], x[-;]; ряд Фурье расх. в (.) x; E(всюду плотное),E=

=[-;], xE р. Фурье в (.) x расх.;; 2) fL¹(), int[-;] |f|d<(-мера Лебега), x[-;] ряд Фурье расх. (Колмогоров, 1923).

3)Гипотеза Лузина(1923). fL²(), int[-;] |f|²d<ряд Ф. сх. почти всюду, т.е. E[-;]; (E)=0; x[-;]\E ряд Ф. в (.)x сх.

М. Лебега: E=0 >0{In}: In=(a_n,b_n): E [n=1..]In, [n=1..]|In|<

Гипотеза доказана: 1966, Л. Карлесон.

________________36_____________________________________

Ядра Фейера, свойства. Теорема Фейера.

Сход-ть ряда Фурье в среднем:

f{a_n,b_n}, обратно-?; fR₁[-;], S_n(x) – частич. сумы ряда Фурье.

_n(x)=(S₀(x)+...+S_n(x))/(n+1)=(1/(n+1))(1/2)int[-;]f(x-t)[k=0..n]Dk(t)dt –

ср. арифм-кое (n+1) слаг. част.  ряда;; Фn(t)=[k=0..n]Dk(t) – ядро Фейера

Фn(t)=(1/(n+1))[k=0..n](sin((k+1/2)t)/sin(t/2); (яФ)

B=sin(t/2)+sin(3t/2)+...+sin((2n+1)t/2); A=cos(t/2)+...+cos((2n+1)t/2)

A+Bi=e^it/2+e^i3t/2+...+e^i((2n+1)/2)t=e^it/2(e^i(n+1)t-1)/(e^it-1)=

(e^it/2e^i(n+1)t/2(e^i(n+1)t/2-e^-i(n+1)t/2))/(e^it/2(e^it/2-e^-it/2))=e^i(n+1)t/2(sin((n+1)t/2)/sin(t/2))

B=sin²((n+1)t/2)/sin(t/2);;Фn(t)=(1/(n+1)) ((sin((n+1)t/2)/sin(t/2))²; Ф(2m)=n+1

ф-ция непр перех. к пределу. _n(f)=(1/2)f*Фn – суммы Фейера (свертка)

Ла (св-ва ядер Фейера)

1)Фn(t) – непр., четная, 2-периодич., Фn(t)0

2) (1/2)int[-;]Фn(t)dt=1

3) 0<< max[t] Фn(t)0[n]

Дво. 1) по опр.

2) Фn(t)=(1/(n+1))[k=0..n]Dk(t); (1/2)int[-;]Фn(t)dt= |;|int[-;]Dk(t)dt=2

=(1/(n+1))[k=0..n]((1/2)int[-;]Dk(t)dt=(1/(n+1))(n+1)=1

3) 0<<; ]t[;]; Фn(t)=(1/(n+1))(sin²((n+1)t/2)/sin²(t/2))

(1/(n+1))(1/sin²(t/2))0[n]

Та (Фейера) ]fR₁[-;]

1)]f непр. в (.)x(f,x)f(x)[n]

2)]fC[-;], f(-)=f()  _n[n]f на R (_n - равном. сходимость)

Дво. _n(x)=(1/2)int[-;]Фn(t)dt – свертка f и яФ

|f(x)-_n(x)|=|f(x) (1/2)int[-;]Фn(t)dt – (1/2)int[-;]f(x-t)Фn(t)dt|=

\ =1 /

=|(1/2)int[-;](f(x)-f(x-t))Фn(t)dt| (1/2)int[-;]|f(x)-f(x-t)|Фn(t)dt=

=(1/2)(int[-;-]+int[-;]+int[;])

1)]f непр. в (.), ]>0>0: |t||f(x)-f(x-t)|<

(1/2)int[-;]|f(x)-f(x-t)|Фn(t)dt<(/2)int[-;]Фn(t)dt=

(1/2)int[;]|f(x)-f(x-t)|Фn(t)dtmax[t]Фn(t)(|f(x)|+(1/2)int[-;]|f(t)|dt)

\ 0 /\=const/ \ =const /

N: n>N(1/2)int[;]|f(t)|dt<; |f(x)-_n(x)|<3

2) fC[-;], f(-)=f()f равном.непр. на R. >0:|x-y|<|f(x)-f(y)|<x,y

|f(x)-_n(x)|(1/2)(int[-;-]+int[-;]+int[;])

(1/2)int[-;] |f(x)-f(x-t)|Фn(t)dt(1/2)int[-;]Фn(t)dt=1; M: |f(x)|<MxR

(1/2)int[;] |f(x)-f(x-t)|Фn(t)dtmax[;]Фn(t)2M0[n]

N: n>Nmax[;]Фn(t)2M< (так же и 3-й int) |f(x)-n(x)|<3 xR

Зам. int[-;] |Dn(t)|dt[n] (плохо)

__________________37___________________________________

Сл. Ты Фейера о сход-ти рФ в (.) непрер-ти ф-ции. Та Вейерштрасса о приближении непр. ф-ции многочленами.

Сл. fR₁[-;], f непр. в (.)xр. Фурье f в (.)x либо расх, либо сх. к f(x)

Ла. {z_n}₁^, z_nC, lim z_n[n]=a; Wn=(z1+..+zn)/n lim Wn[n]=a

(посл-ть ср. арифм. сх. тоже к a).

Дво Лы. >0 N: n>N|z_n-a|<; |Wn-a|=|(z1+..+zn-na)/n|= [n]

=|(z1+..+z_N-Na)/n+((z_N+1-a)+..+(zn-a))/n||z1+..+z_N-Na|/n+(n-N)/n (1слаг0)

MN(Nat): n>M|z1+..+z_N-Na|/n<; ]n>max(N,M)|Wn-a|<+=2

Дво Сл. ]р. Ф. в (.)x сх: lim[n]Sn(x)=S(x); по Те Фейера n(x)f(x)[n]; по Ле n(x)S(x) |f(x)=S(x)

Приближение непр. ф-ций многочленами.

Зам. 1)f(x)=f(-x), fR₁[-;]b_k=(1/)int[-;]f(x)sin(kx)dx=0;

f~[k=1;]a_kcos(kx)+a₀/2;;

2)f(-x)=-f(x)a_k=(1/)int[-;]f(x)cos(kx)dx=0; f~[k=1..]b_ksin(kx)

Та. (Вейерштрасса)

1)fC[-;], f(-)=f()>0T(x)=[k=1..]a_kcos(kx)+b_ksin(kx)+a₀:

|T(x)-f(x)|<, x[-;];; 2)fC[a,b], >0p(x)R[x]:|f(x)-p(x)|<x[a,b]

Дво. 1)fC[-;], f(-)=f(); n(f)f на [-;] (равн. сх.);

>0n: |f(x)-n(x)|<x[-;]; T(x)=n(x)

2)fC[a,b]; x=a+(b-a)t/ - лин. преобр-е [a,b][0,]; t[0,]x[a,b]

g(t)=f(a+(b-a)t/); gC[0,], g(-t)=g(t); gC[-;]; g(-)=g()

>0T(t): |g(t)-T(t)|<, t[-;]; T(t)=d₀+[k=1..n]d_kcos(kt);

cos(kt)=1-(kt)²/2+... – сх. равном. на [-;] T(t)=[k=0;]_kt^k – сх. равном. на [-;]; m: p_m(t)=[k=0;m]_kt^k: |T(t)-p_m(t)|<, t[-;]

по нер-ву : |g(t)-p_m(t)|<2; t=(x-a)(b-a); |g((x-a)/(b-a)-p_m((x-a)/(b-a)|<2

\ = f(x) / \ -мн-н от x /

Сл. {1, sin(kx), cos(kx)} – полна в C[-;], в R₂[-;]

Зам. fC[a,b]f=[n=0;]Rn(x) (мн-ны) – сх. равном. на [a,b]; Rn(x)R[x]

Дво. Pn(x)f(x) на [a,b] (cх. равном). P₁(x)+[k=1;]P_K+1(x)-P_K(x))=f(x):

Sn=P₁(x)+[k=1;n-1](P_K+1(x)-P_K(x))=Pn(x), а Pnf  Snf (равн. сх.)

____________________38_________________________________

Ты о дифф-ии ряда Фурье и о скорости убыв-я коэфф. гладкой ф-ции

Та1 (о дифф-ии р.Ф.)

fC[-;]; f(-)=f()непр. в R; ]f ’(x) – кус.непр.; f~[k=-;]c_ke^ikx

f ‘~[k=-;]c_k(ik)e^ikx, т.е. рФ для f ‘ получ-ся формальн. дифф-ем рФ f.

Дво. c_k(f ‘)=(1/2)int[-;]f ‘(x)e^-ikxdx=(1/2)f(x)e^-ikx|[от - до ] +

+(1/2)int[-;]f(x)(ik)e^-ikxdx=(1/2)(f()e^ik-f(-)e^-ik)+(ik c_k) (1слаг=0, т.к.

f()=f(-); e^ikx=e^-ikxe^2ik=1

Та2 (о скорости убыв-я коэфф. Ф. гладкой ф-ции)

]fC^(m-1)[-;], f^(m)(x) – кус.непр. на [-;]; f^(j)(-)=f^(j)(), j=0,..m-1 (m1) 

|c_k|=_k/k^m[k0] (_k: [k=-;]_k² – сх.) (в частности, _k0, c_k=o(1/k^m)[k]

Дво. По Те1: c_k(f^(m))=(ik)^mc_k; |c_k|=|c_k(f^(m))|/k^m, ]_k=|c_k(f^(m))|

Рав-во Парсеваля: (1/2)int[-;] |f^(m)(x)|²dx=[k=-;] |c_k(f^(m))|²

Зам. Та1: f~a₀+[k=1;]a_kcos(kx)+b_ksin(kx); f ‘ – кус.непр. 

f ‘ ~ формально продифф. ряд.;; Та2: f^(m) – кус. непр. |a_k|=_k/k^m; |b_k|=_k/k^m

_k²<; _k²<

________________________40_____________________________

Преобразование и интеграл Фурье, свойства (лемма 1).

^(...)-крышка над тем, что в скобках; (...)-душка над.....

Опр1. f на R, f лок. интегрир., если  xR U(x): f- интегр. в U(x)-_окр.‡ [a,b]R fR[a,b]‡ x[a,b]U(x), f- интегр. в U(x), {U(x)}_x[a,b] –покрытие [a,b]‡[a,b]- компакт кон. подпокр. ; [a,b] _k=1ⁿ U(x_k), f-интегр. на U(x)  fR[a,b]‡‡Опр2. f на R, если  кон lim_A+ _-A^A f(x)dx=v.p. _-^ f(x)dx- интег. в смысле главного знач. _-^ f(x)dx= lim_{A+; B-} _-B^A f(x)dx; Если несоб. , то =v.p.; Если f(x)0, то _-^ f(x)dx=v.p._-^ f(x)dx‡‡Опр. f(x): RC, f-лок. интегр. ^(f(y))=c(y)=[1/(2)] _-^ f(x)e^-ixy dx-если он в смыс гл. знач.—преоб. Фурье ф-ции f(x)‡c_k=[1/(2)] _-^ f(x)e^-ixy dx‡a(y)= [1/] _-^ f(x)cos xydx- “cos” преобр. Фурье‡b(y)= [1/] _-^ f(x)sin xydx- “sin” преобр. Фурье‡ c(y)=0.5(a(y)-ib(y))‡f(x)_-^ с(y)e^ixy dy_{–интег. Ф. для f} =(с(x))‡f(^(f))-инт.Ф.‡‡

_-A^A с(y)e^ixy dy=_-A⁰ с(y)e^ixy dy+₀^A с(y)e^ixy dy‡_-A⁰ с(y)e^ixy dy=^t=-y=-_A⁰ с(-t)e^ixytdt=

=₀^A с(-y)e^-ixy dy‡_-A^A с(y)e^ixy dy=₀^A [с(-y)e^-ixy +с(y)e^ixy]dy=

/т.к. с(-y)=[1/(2)] _-^ f(t)e^-ity dt=0.5(a(y)+ib(y)) /

=₀^A [a(y)cos xy+b(y)sin xy]dy‡Инт. Ф. _-^ [a(y)cos xy+b(y)sin xy]dy‡‡‡

f:RC; ^(f(y))=[1/(2)] _-^ f(x)e^-ixy dx‡^(f(y))=[1/(2)] _-^f(x)e^ixy dx=^(f(-y)) ;] f : RRf(y)=^(f(-y))‡1)f(x)=f(-x)b(y)=[1/]f(x)sin xy dx=0^(f(y))=

=[1/(2)] _-^ f(x)cos xy dx‡2)f(-x)=-f(x)a(y)=[1/] _-^ f(x)cos xy dx=0‡‡‡

Л-ма: ]f –лок. инт., абсол. инт. на R a) ^(f(y))  ‡b) ^(f(y))C(R)‡

c) |^(f(y))|[1/(2)] _-^ |f(x)|dx- огранич.‡d) ^(f(y))_y0‡

Д-во: ^(f(y))=[1/(2)] _-^ f(x)e^-ixy dx‡ |^(f(y))|[1/(2)] _-^ |f(x)|dx a) и с)

d)- Л-ма Римана‡с) F_A(y)=[1/(2)] _-A^A f(x)e^-ixy dx; F_A(y+h)-F_A(y)=

=[1/(2)] | _-A^A f(x)e^-ixy (e^-ixh-1)dx |max_x[-A,A]|e^-ixh –1|*[1/(2)] _-A^A |f(x)|dxF_A(y)- непр. \---------------------/_{0 при h0}

_-^ f(x)e^-ixy dx_-^ |f(x)|dx пр. Вейерштр. сх. равн.

F_A(y) ^―>_> ^(f(y)) ^(f)C(R)

______________________39_______________________________

Теорема о скорости сходимости ряда Фурье гладкой функции, 2-е док-во аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. Интегрирование ряда Фурье.

Теор. ] f, f `…,f^(m-1) – непрер. на [-, ] ‡ f^(j)(-) = f^(j)() ‡ j=0,1…m-1 ‡

 f^(m) – кусочно непр.  ряд фурье сх. к f(x) абсолютно и равномерно [-,]

| f(x) – S_n(x) | < (_n / n^m-1/2 ) ‡ где _n _n 0 ‡ т.е f(x)=S_n(x) + o(1/n^m-1/2)_n-> ‡

Док. |c_k| = _k/k^m ‡ _{k= -}^ _k² <  ‡ m1  |c_k|  _k/k ‡ _{k= -} ^|c_ke^ikx| = _^ |c_k|

_k=1^ |c_k|  _k=1^ (_k/k)  (нер. Коши-Боняк.)  (_k=1^ _k²)^1/2(_k=1^(1/k²))^1/2 <

анологично: _-^-1|c_k| сх. & сх.  сход.

_-^с_ke^ikx – сх. равномерно по признаку Вейерштрасса.

f `- кусочно непр. _{теор. ДИНИ} S(x)=f(x) ‡ |f(x)-S_n(x)| = |_k=n+1^ |c_ke^ikx| 

_k=-^-(n+1) |c_k| + _k=n+1^ |c_k| ‡ _k=n+1^|c_k|  _k=n+1^ (_k/k^m) _{нер. Коши-Бон.} 

(_k=n+1^ _k²)^1/2(_k=n+1^ 1/k^2m)^1/2

_n _n-> 0 ‡ 1/k^2m  1/x^2m (когда k-1  x  k)

1/k^2m  _k-1^k dx/x^2m ‡ _k=n+1^ 1/k^2m  _n^ dx/x^2m = y=1/x^2m

– 1/ (x^2m-1(2m-1)) |_n^ = 0 + 1/((n^2m-1(2m-1))

|f(x)-S_n(x)|  2_n ((2m-1)*n^m-1/2)^-1 ‡

_n = 2_n / (2m-1) _n 0 k-1 k

Сл1. (2-е док. т.Вейер) ‡ fC[-,] ‡ f(-)=f() ‡ >0  T(t) – тригон. мног.

|f(t)-T(t)| < 

Док. f равном. непр.(т.к она непр.)  >0 |x-y|<  |f(x)-f(y)| <  ‡  N: 2/N<

(x₀,x₁…x_N) ‡ (x_k-x_k-1) <  ‡ (x_k) = f(x_k) [x_k, x_k+1]  - линейная |f(x)-(x)| < 2

|f(x)-(x)|  | (f(x) – f(x_k))_< + ((x_k)-(x))_< | <2 { x[x_k-1,x_k] } ‡

`(x) – кусочно постоянная  кус. непр.  по теор  S_n(,x) _{n[-,]} (x)

 n: |S_n(x)-(x)| <  ‡ x[-,]  T=S_n(x)  |f(x)-S_n(x)| < 3

Cл.2 (Интегр. ряда Фурье)

f(x) кусоч. непр.на [-,] f_k=-^c_ke^ikx ₀^x f(t)dt = c₀x+_{k=- ‡ 0}^c_k(e^ikx-1)/ik – ряд сх. абсол. и равномерно.  ₀^xf(t)dt-c₀k = -_{– & 0}^c_k/ik + _{– & 0}^c_ke^ikx/ik

Док. F(x)=₀^xf(t)dt – c₀x ‡ F(x)C[-,] ‡ F`(x)=f(x)-c₀ кусочно непрерывна

F()-F(-) = ₀^f(t)dt - c₀ - ₀^-f(t)dt+(-c_0­­) = _-^ f(x)dx – 2c₀ = 0

т.к c₀ =def= 1/2 _- ^ f(x)dx  можно применить теор.  _k=-^c_k(F)e^ikx = F(x)

c_k(F) = e_k/ik ‡ k0 ‡ F(x)-c₀(F) = _{k=- & 0}^ (c_ke^ikx/ik)

0 = F(0) + _л=-^с_k(F)  c₀(F) = -_{k=- & 0}^ (c_k/ik)

Зам. f(x) – кусочно непр. на [-,]   _{k=- & 0}^ |c_k| / ik < +

__________________________41___________________________

Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье.

докажем f(x)=(^(f))(x)‡‡Теор. fабсол.

инт. на R, f-лок.кусоч. непр. (на [a,b] f-кусоч. непр.); ] в(.) x вып. усл. Дини.; /₀^ |[f(x+u)-f(x+0)]/u|du-сх./_-^ e^ixy[ [1/(2)]_-^ f(t)e^-iyt dt]dy=[f(x+0)+f(x-0)]/2‡(^(f))(x)= –//–‡Док-во: S_A(x)= _-A^A e^ixy ([1/(2)]_-^ f(t)e^-iytdt)dy‡ ^(f(y))-непр.интег. на[-A,A]‡_-A^A e^ixy(_-B^B f(t)e^-iytdt)dy= _-B^B f(t)(_-A^A e^iy(x-t) dy)dt

\--------------/-_{равн. сх}. _B

S_A(x)=[1/(2)] _-^f(t) [e^iy(x-t) / (i(x-t)) ]_y=-A^y=A dt=[1/(2)] _-^ f(t) [(e^iA(x-t)- e^-iA(x-t))/ (i(x-t))] dt=[1/] _-^ f(t) [sin(A(x-t))/ (x-t)] dt=_x-t=u=[1/] _-^ f(x-u) [sinAu/ u] du ‡ ‡_-⁰ f(x-u) [sinAu/ u] du=_t=-u=₀^ f(x+t) [sinAt/ t] dt=₀^ f(x+u) [sin(Au)/ u] du‡

S_A(x)=[1/] ₀^ (f(x+u)+f(x-u)) [sinAu/ u] du‡ [f(x+0)+f(x-0)]/2=

=[1/] ₀^ (f(x+0)+f(x-0)) [sinAu/ u] du‡ |S_A(x)–[f(x+0)+f(x-0)]/2 |=

=|[1/] ₀^ [(f(x+u)-f(x+0))/u+(f(x-u)-f(x-0))/u] sinAu du |

док-жем, что последний модуль 0, при А

|₀^ [(f(x-u)-f(x-0))/u] sinAu du |=₀¹ | |+₁^ | |‡‡‡

>0 ₀^ |[(f(x-u)-f(x-0))/u]|du-сх‡_¹ | |du[1/] [|f(x-0)|+ _-^ |f(x)|dx]‡

₀¹ [(f(x-u)-f(x-0))/u]sinAu du_A^{л-ма Римана}0‡

₁^ |(f(x-u)/u|sinAu du_A^{л-ма Римана}0‡|f(x-0)| ₁^ [sinAu/u] du=_Au=t=

=|f(x-0)| _A^ [sint/t] dt ‡ т.к. ₁^ [sint/t] dt- сх‡‡‡

След1.f-абсол. интег., непр. на R; f `(x)-лок. кус.непр. и x f ` (x+0),f `(x-0)

(^(f))(x)=f(x)‡‡След2. ]f-удовл. усл. Cл1f(x)=^((f))(x)=(^(f))(x)‡Док. (f(y))=_-^ f(t) e^ity dt=2^(f(-y))‡ ^((f))(x)=[1/(2)]_-^ 2 ^f(-y) e^-ixydy= ^-y=t =

=_-^ ^f(t) e^ixtdt=(^(f))(x)=^Сл1=f(x)

____________________________42_________________________

Гладкость функций и скорость убывания преобразования Фурье.

{e^{i kx},kZ} – ОС { e^{i kx}/2,kZ }- ОНС

Нормир.преобразование Фурье

(1/2)_-^+f(x) e^-ixydx =f^(f c крышкой)- прямое преобразование

(1/2)_-^+f(x) e^ixydx =f \/(\/ заменяет галочку над f)- обратное преобраз.

f удовл. усл. сл 1 (f^)\/(x)=(f\/)^(x)=f(x)

Лемма 2.

f(x)-непрер. на R, f ’(x)- локально кусочно непр-на

а) Если f’(x) – абс. интегр-ма lim_xf(x)=a

b) f,f ’- абс. интегр-мы  lim_xf(x)=0

Д-во

f ’- кус. непрер. на [a,b]Ф-ла Ньютона-Лейбница f(x)=f(0)+ ₀^xf ’(t)dt

 lim_x₀^xf ’(t)dt  lim_xf(x)

b)  lim_xf(x)=a Если а0₀^+f (t)dt- расходится

f(x) _-^+f(x)dx- сходится а=0

Теорема.(о скорости убывания преобраз. Фурье гладкой функции)

Пусть f C^k(R), f,f ’.. f ^(k) -абсолютно интегрир. на R

1. (f ⁽ⁿ⁾)^ =(iy) ⁿ f^(y) n=1,2..k

2. f^(y)=o(1/y ^k) y

Д-во:

k=0 а) очевидно b) Лемма 1(см 40)

k>0 f(x), f ’(x).. f ^(k-1) Лемма 20(х) //0(x)=0

(f ⁽ⁿ⁾)^= (1/2)_-^+f ⁽ⁿ⁾(x) e^-ixydx=1/2( f ^(n-1)e^-ixy_-^++iy_-^+f ^(n-1)(x) e^-ixydx)= iy/2_-^+f ^(n-1)(x) e^-ixydx=..= (iy)ⁿ/2_-^+f ^(n-1)(x) e^-ixydx=(iy)ⁿf^(y) n=1,2..k

b) (f ^(k))^ =(iy) ^kf^(y)

f^(y)= (f ^(k))^ /(iy) ⁿ = o(1/ o(1/y ^k) ;??? f ^(k) 0 y

Т-ма (о гладкости преобраз. Фурье убывающей функции)

f-лок. интегрир., kZ k0 \  a) f^C^k (R)

x ^k f(x)- абсолютно инт-ма / b) (f^)^(k)(y)=(-i) ^k (x^kf(x))^(y)

Д-во:

k=0 – очевидно, f^ - непрер. функция

k>0 f^(y)= (1/2)_-^+f(x) e^-ixydx- сход. равномерно

f(x) e^-ixy=f(x) x^kf(x)- абс. интегрир.

(f^) ’(y)=(-i/2)( _-^+xf(x) e^-ixydx

_-^+xⁿ f(x) e^-ixydx – сход. равномерно для  nk

(f^)⁽ⁿ⁾(y)=((-i) ⁿ /2)( _-^+xⁿ f(x) e^-ixydx)