Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.

Определение: Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) в точке x_o, если найдется такая окрестность U(x_o), что для всех точек из этой окрестности U(x_o) график функции f(x) лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в точке x_o.

З амечание: Говорить о выпуклости в точке можно только если функция дифференцируема в этой точке.

Контрольный пример: . 0 - ни точка выпуклости вверх, ни точка выпуклости вниз, ни точка перегиба, потому что в любой окрестности U(0) есть точки в которых функция выпукла вверх и вниз.

Теорема: (Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)).

Если функция f в точке x_o имеет непрерывную вторую производную , и при этом <0 (>0), то f выпукла в вверх (вниз) в точке x_o.

Доказательство:

Т.к. функция f имеет непрерывную вторую производную , то эта производная определена в некоторой окрестности . Разложим функцию f по формуле Тéйлора с остаточным членом в форме Пеано:

.

Причем функция является графиком касательной к функции f в точке . Поэтому если >0, то f(x)< (x) в окрестности (т.к. ε(x)→0, при x→0), а если >0, то f(x)> (x) в .

Билет 21

Точка перегиба. Достаточные условия. Общая теорема о точках перегиба и экстремума.

Определение.

Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график переходит через сторону касательной ( разные выпуклости слева и справа).

Замечание.

Точка перегиба существует только если . Пример

Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).

Если функция имеет непрерывной в точке , =0 и , то точка перегиба.

Доказательство:

В этом случае: , (формула Тейлора) , или .

В силу непрерывности в и того факта, что сохраняет знак в некоторой окрестности точки . С другой стороны, множитель меняет знак при переходе через , а вместе с ним и величина (равная превышению точки кривой над касательной в ) меняет знак при переходе через .

Теорема доказана.

Теорема 2 (Общая теорема о точках перегиба и экстремума.)

Пусть функция обладает следующими свойствами:

Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.

Доказательство:

Разложим по формуле Тейлора:

того же знака, что , , , если - четное то

или всегда, - не точка перегиба.

Если - нечетная

С одной стороны , с другой стороны - точка перегиба. - четное.

, - min

, - max

Билет 22

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.

Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках ( ) расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.

Выпуклость вверх Выпуклое множество

Выпуклость вниз Невыпуклое множество

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)

Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ( ) для всех .

Доказательство:

Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h [a,b], имеет место неравенство , откуда .

Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь

.

Таким образом, ( , и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).

Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому .

Применяя формулу Тейлора, получим

0= . Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Доказательство в случае аналогично.

Теорема доказана.

Билет 23