Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Пусть Г есть гладкая
кривая определенная функциями
,
,
имеющими на [a,b]
непрерывные производные. Введем разбиение
и составим сумму
,
представляющую
собой длину ломаной, вписанной в Г с
вершинами в точках, соответствующих
значениям
.
Имеем тогда (
В
первом равенстве цепи мы воспользовались
теоремой о среднем.
Чтобы обосновать,
что
,
введем вспомогательную функцию
очевидно
непрерывную на кубе
Модуль ее непрерывности на
обозначим через
. Так как расстояние между точками (
не превышает
,
то
и потому
.
Мы доказали, что длина гладкой кривой существует и выражается формулой
(1)
При замене переменной
при помощи непрерывно дифференцируемой
функции
получим, очевидно,
где
что показывает инвариантность определения
длина дуги.
Если кривая
(плоская) задана уравнением
где
имеет непрерывную производную на [a,b],
то, очевидно, ее длина дуги выражается
формулой
(надо положить в
формуле (1) t=x,
y=f(x),
z=0).
Пример 1:
