- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида .
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ( ).
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Суммы Дарбу. Их Свойства.
Определение:
Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.
R: , .
Тогда можем составить выражения:
- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.
, .
Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.
R: , .
Тогда можем составить выражения:
- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.
, .
Свойства сумм Дарбу:
1) , для одного и того же разбиения.
2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение , если все точки являются точками .
Д обавление точек не увеличивает и не уменьшает . Пусть получается из добавлением одной точки.
, ,
,
,
Заметим, что если , то и . Отсюда заключаем:
, , , .
3) , ,
,
=> , т.е. .
- нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). .
- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). .
.
Билет 40
Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
Теорема:
Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда .
Доказательство:
Докажем необходимость условия:
Функция интегрируема на отрезке .
Пусть , тогда , т.е. .
т.е. и .
Далее имеем: , т.е. .
Необходимость доказана.
Докажем достаточность условия:
.
.
.
Докажем, что .
,
,
, тогда , т.е. ,
.
Достаточность доказана.
Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
Теорема (Основная)
Ограниченная функция f интегрируема на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда .
Доказательство:
П о теореме об интегрируемости (f интегрируема ) функция интегрируема тогда и только тогда, когда (1). Надо доказать, что если . Т.е. если найдется одно R*, удовлетворяющее неравенству (1), то оно (неравенство) будет выполняться для всех R. Возьмем произвольное . Нужно найти δ, такое чтобы выполнялось неравенство . По условию теоремы . Рассмотрим наше разбиение R* и произвольное R, как показано на рисунке. Составим разность верхней и нижней сумм Дарбý для нового разбиения R: . Нужно сделать его меньше . Из условия имеем . Обозначим через Σ первую сумму и разобъем ее: Σ=Σ1+Σ2. Σ1 – такие слагаемые, что элемент нового разбиения R содержит в себе хотя бы одну точку границы старого раазбиения R*. Все остальное войдет в Σ2. Рассмотрим отдельно Σ1 и Σ2:
Σ1: т.к. функция f – ограничена (k - константа). Тогда (M и m – максимум и минимум на [a,b]). Получим Σ1 , где λR<δ, а количество красных отрезков не превосходит 2n. Для того чтобы это неравенство выполнялось, достаточно взять δ< /8kn. Т.е. при δ< /8kn Σ1< /2.
Σ2: разобъем Σ2 на повторные суммы, т.е. Σ2=Σ(Σi). Σi≤ ≤ (Mi*-mi*)ΣΔxi*, где Mj и mj – максимум и минимум на j-том участке. Σi – группировка тех новых j-тых участков, которые попали в один и тот же старый. Получим Σ2 Σ1+Σ2<ε, т.е. Σ< . В итоге:
. Теорема доказана.
Следствие 1: Функция f – интегрируема на [a,b], если с : (если существует такая последовательность разбиений с мелкостью, стремящейся к нулю, что модуль разности последовательности интегральных сумм и интеграла стремится к нулю).
Следствие 2: Функция f – интегрируема на [a,b], если (если верхний интеграл равен нижнему).
Билет 42