Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S1-S5_Metod

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

3.32 Mб

Скачать

☆

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

. 2010.

1- 5.

. , 2010, 138 .

. 1999

( ) . .

2000-2005 - , 2009 -

. 2009 "

". e-mail: akoryanov@mail.ru

42 . 2 .

( )

) ;) ;) ;

) ,

) ;) ;) ;

1.:) ;) ;

) , .

2.:

) ( );) ;) , ( ,

);) ;

) ;) , ( – , );

) , (

);) , (

);) ( );

) ( );) (

)

( , , )

( )

27.( )

1.3.( )

3.2.F(x;y) = px + qy + r

3.4.F(x; y)

3.5.,

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 Задания С1 и С2

Корянов А.Г.

г.Брянск

Задания С1

● (Д – 2010) Решите систему уравнений

	2	+3x −	x	2	+3x −1 = 7
x		+3x −	x		+3x −1 = 7

		2 sin y = x
2		2 sin y = x

Ответ: x = 2,

y = (−1)n

+πn, n Z.

1. Решите систему уравнений

+ 4 = 5

tgy

−tgy

x −5 + 4 cos y = 0

3π

Ответ: 13;

+ 2π n ,

2. Решите систему уравнений

+ 2sin x = 0

tgx +1 =

cos

5π

Ответ:

+ 2π n; 0,5 , n Z.

3. Решите систему уравнений

−5 2

+ 4 = 0

sin y

x +5cos y +1 = 0

Ответ: (16;π + 2π n), n Z.

4. Решите систему уравнений

−12 cos x +5 = 0

4 cos

− 4 y +16 + 4sin x = 0

−

Ответ:

+ 2π n; 2 , n

5. Решите систему уравнений

+ cos

x − 2 = cos x

y sin

x −sin x −1 = 0

+ 2π n; 2

Ответ:

, n

−

+ 2π k; 2 , k

6. Решите систему уравнений

−

+16

= 0

y −2

cos x =

Ответ: (2π n;3), n Z.

7. Решите систему уравнений

cos x

−10

cos x

+16

= 0

y + 2sin x = 0

−

Ответ:

+ 2π n;3 , n Z.

8. Решите систему уравнений

y+1

= 2 cos x

−y

= 4 cos x +1

+ 2π n; −

Ответ:

1 , n

9. Решите систему уравнений

sin x = y −3

= y −2

cos x

Ответ: (2π n;3), n Z;

−

+ 2π k; 2 , k Z.

10. Решите систему уравнений

sin y = x −6

= x −7

cos y

Ответ: (6;π + 2π n), n Z;

+ 2π k , k Z.

11. Решите систему уравнений

= sin y

−x

= 2sin y +1

−1; (−1)

+π n

Ответ:

, n

12. Решите систему уравнений

sin y

−30 9

sin y

+81

= 0

x + 2 cos y = 0

5π

Ответ:

+ 2π n , n Z.

13. Решите систему уравнений

+3sin y −2 = 0

2sin

− x + 4 cos y = 0

5π

Ответ:

−

+ 2π n , n Z;

5π

+ 2π k ,

k Z.

14. Решите систему уравнений

3sin x = cos 2x +1

+6 y +6 cos x = 0

5π

Ответ:

+ 2π n;3

, n Z;

5π

+ 2π k;

−

k Z;

9 ,

15. Решите систему уравнений

− 4xy + 4 y

−16

= x − 2 y

− 2xy +16

= 0

Ответ: (−4; 4).

16. Решите систему уравнений

2 y

− 2xy

+ x

− 25

= y − x

− 4xy +100 = 0

Ответ: (−10; −5).

17. Решите систему уравнений

2 sin 2 x −7 sin x +3 = 0

6 sin x +5y =13

Ответ: (−1)n π6 +π n; 2 , n Z.

18. Решите систему уравнений

y +11cos y +5 = 0

2 cos

5 cos x − 2 cos y + 4 = 0

2π

Ответ: π + 2π n; ±

+ 2π k , n Z, k Z.

19. Решите систему уравнений

2tgx +5y =12

2tgx +3y = 8

π n; 2

n Z .

Ответ:

20. Решите систему уравнений

3tgx + 4 cos y = 5

3tgx +8cos y = 7

π n; ±

Ответ:

2π k , n Z, k Z.

21. Решите систему уравнений

+ 2 cos x = 0

−3sin x −2 = 0

2sin

5π

Ответ:

−

+ 2π n;

, n Z;

22. Решите систему уравнений

+ 2sin y = 0

y −4 cos y −3 = 0

4 cos

2π

Ответ:

; −

2π n , n Z;

23.Решите систему уравнений

x2 = 8sin y +1

x +1 = 2sin y

Ответ: (−1;π n), n Z;

24.Решите систему уравнений

y2 = 4 cos x +1

y +1 = 2 cos x

Ответ:

+π n; −1 , n

25. Решите систему уравнений

sin x = 0

cos y

x =

y +1

2sin

2 cos

(−1)

+π n;

Ответ:

+π k , n Z, k Z.

26. Решите систему уравнений

cos x = 0

sin y

x +

y = 3

2sin

2 cos

Ответ:

+ 2π n;π k , n Z, k Z;

π n; ±

π k , n Z, k Z.

27. Решите систему уравнений

x − 4 cos x −3 = 0

4 cos

− y −3 + 2sin x = 0

2π

Ответ:

−

2π n;3 , n Z;

−

2π

+ 2π k; −2

28. Решите систему уравнений

cos 2 y = cos y

− 2x = 2sin y

Ответ: (0; 2π n); (2; 2π n);

2π

+ 2π n ;

−1;

+ 2π n

, n Z.

29. Решите систему уравнений

xtgy = 9

x ctgy = 3

Ответ:

+π n , n Z;

−3 3; −

+π k

, k

30. Решите систему уравнений

y tgx = −2

y ctgx = −6

−

Ответ:

+π n; 2 3 , n Z;

	π
	6	+π k; − 2 3 , k Z.
	6
31. Решите систему уравнений
				sin 2x −cos x			= 0

						y +1
						y +1
					= 4 sin x −3
				y	= 4 sin x −3
Ответ: x =			π	+ 2π n, n Z, y =1.
			2
32. Решите систему уравнений
				sin 2x + cos x				= 0

						y −1
						y −1
					= 4 sin x +3
				y	= 4 sin x +3
Ответ: x =			π	+ 2π n, n Z, y = 7.
			2
33. Решите систему уравнений
				2sin	2	x −3sin x	+1		= 0
					2

						y
						y

			y −cos x = 0

Решение. Из первого уравнения системы следу-

ет	2sin 2 x −3sin x +1 = 0 и		y > 0 .		Пусть
sin x = t , где		−1 ≤ t ≤1.	Из	уравнения
2t 2	−3t +1 = 0	получаем корни	t1	=1,	t2 =	1	,

					2

которые удовлетворяют условию −1 ≤ t ≤1.

а) Если sin x =1, то cos x = 0 и из второго урав-

нения системы имеем

y = 0 .

Это значение не

удовлетворяет условию y > 0 .

б)

Пусть

sin x =

тогда

из тождества

sin 2 x +cos2 x =1

получаем

cos x =

cos x = −

. Отсюда

y =

или y = −

(не

удовлетворяет условию y > 0 ).

Из

уравнения

sin x =

имеем

π + 2π n, n Z.

x =

Таким образом, исходная система имеет реше-

ния x =	π	+ 2π n, n Z, y =			3	.
ния x =	6	+ 2π n, n Z, y =			2	.
	6				2
Ответ: x =			π	+ 2π n, n Z, y =			3	.
Ответ: x =			6	+ 2π n, n Z, y =			2	.
			6				2

Критерии:

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно

получен

вер-

ный ответ.

Получен ответ, возможно,

неверный, но только из-за

того, что в решении не уч-

тено, что знаменатель дроби

существует

отличен

от

нуля.

Решение не

соответствует

ни одному из критериев, пе-

речисленных выше.

34. Решите систему уравнений

x +3sin x +1 = 0

2sin

− y

y = −cos x

Ответ: x = −

+ 2π n, n Z, y = −

35. Решите систему уравнений

= 0

−6

sin x

log2 (1 − 2 y)

y = cos x

Ответ: x =

5π

+ 2π n, n Z, y = −

36. Решите систему уравнений

cos x

−12

cos x

+ 27

log7 (1 + 2 y)

= sin x

Ответ: x =

+ 2π n, n Z,

y =

37. Решите систему уравнений

sin x −sin y =1

sin 2 x + cos2

y =1

Ответ:

(−1)

π n; (−1)

k +1

+π k , n Z, k Z.

38. Решите систему уравнений

−5x −3)

cos y = 0

(2x

sin y = x

;

π n

Ответ: (−1)

, n

−

;

−

+ 2π k , k

39. Решите систему уравнений
					1
		cos(x + y) = −
		cos(x + y) = −			2
					2

		sin x +sin y = 3
	π	+ 2π n;	π
Ответ:	3	+ 2π n;	3	+ 2π k ;
	3		3

2π		2π
	+ 2π n;		+ 2π k , n Z, k Z.
	+ 2π n;	3	+ 2π k , n Z, k Z.
3		3
40. Решите систему уравнений
			sin x +sin y =1
						2π
				x − y	=	2π

						3
						3

Решение. Рассмотрим два случая, связанные с раскрытием модуля.

1. Если x − y =

2π

, то y = x −

2π

. Первое урав-

нение системы примет вид

2π

sin x +sin x −

=1;

sin x +sin x cos

2π

−cos x sin

2π

=1;

sin x −

cos x =1;

sin x

−

cos x

=1;

sin x −

=1;

5π

x =

+ 2π n, n Z. Отсюда

y =

π + 2π n, n Z.

2π

2. Если x − y = −

, то y = x +

. Первое

уравнение системы примет вид

2π

sin x +sin x +

=1;

sin x +sin x cos

2π

+cos x sin

2π

=1;

sin x −

sin x +

cos x =1;

sin x

cos x

=1;

sin x +

=1;

x =

π + 2π k, k Z. Отсюда

y =

5π

+ 2π k, k Z.

5π

Ответ:

+ 2π n;

+ 2π n , n

π		5π
	+ 2π k;		+ 2π k , k Z.
6	+ 2π k;	6	+ 2π k , k Z.
6		6

Критерии:

Содержание критерия								Баллы
Обоснованно				получен вер-				2
ный ответ.								2
ный ответ.
Получен ответ, но решение
не верно из-за ошибки в
формулах		или			значениях			1
тригонометрических							функ-	1
тригонометрических							функ-
ций, из-за неверной записи
ответа.
Решение	не			соответствует
ни одному из критериев, пе-								0
речисленных выше.
41. Решите систему уравнений
					sin x = sin 2 y

					cos x = sin y
						≤ x ≤π
					0	≤ x ≤π
					0 ≤ y ≤π

	π	;	π			π
Ответ:	3	;	6	; 0;		2	.
	3		6			2

42. Решите систему уравнений

x + y = 2π3

sin x = 2sin y

π		+π n;	π
Ответ:	2		6	−π n , n Z.

Задания С 2

РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Методы решения задач

1.Поэтапно-вычислительный метод

2.Координатный метод

3.Координатно-векторный метод

4.Векторный метод

5.Метод объемов

6.Метод ключевых задач

Ключевые задачи

1. Координаты точки M (x; y; z), делящей отрезок M1M 2 между точками M1 (x1 ; y1 ; z1 ) и

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) в отношении M1M : MM 2 = λ ,

определяются формулами x = x11++λλx2 , y = y11++λλy2 , z = z11++λλz2 .

2.Найти угол между диагоналями смежных граней куба.

3.Найти угол между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.

4.Найти угол между диагональю куба и плоскостью, проведенной через концы трех ребер куба, выходящих из той же вершины, что и диагональ.

5.В кубе ABCDA1 B1C1 D1 диагональ BD1 пер-

пендикулярна плоскостям AB1C и A1 DC1 и делится ими на три равные части.

6.Отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

7.В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны.

8.Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер правильного тетраэдра, является их общим перпендикуляром и имеет длину

а22 , где а – длина ребра.

9.Любое сечение треугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее скрещивающимся ребрам, является параллелограммом.

10.Любое сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее скрещивающимся ребрам, есть прямоугольник.

1. Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

1)как длину отрезка АВ, если отрезок АВ удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон;

2)по формуле

ρ(A; B)=

− x )2 +(y

− y )2

+ (z

− z )2

, где

A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )

;

3) по формуле

AB2 .

Пример 1. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 на диагоналях граней AD1 и D1 B1 взяты точки Е и

F так, что D1 E = 13 AD1 , D1 F = 23 D1 B1 . Найдите длину отрезка EF.

Решение. Длину отрезка EF найдем по теореме косинусов из треугольника D1 EF (рис. 1), в ко-

тором				D F =		2		2 ,		D E =				1	2 , FD E = π
тором				D F =				2 ,		D E =					2 , FD E = π
				1	3						1			3		1	3
					3									3			3
(треугольник AB1 D1									является равносторонним).
Имеем											−2D E D F cos π
	EF 2			= D E 2			+ D F 2				−2D E D F cos π						=
				1				1					1		1	3
																3
=	2	+	8	−2	2			2	2		1	=	2	, откуда EF =				6	.
=		+	9	−2	3			3			2	=	3	, откуда EF =			3		.
9			9		3			3			2		3				3

Рис. 1

Ответ: 36 .

1. (П) Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4 и 4. Найдите расстояние от вершины до центра основания призмы, не содержащего эту вершину.

Ответ: 3.

2. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержа-

щей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние между двумя параллельными пря-

мыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными пря-

мыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить:

1)как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;

2)используя векторный метод;

3)используя координатно-векторный метод.

Пример 2. При условиях примера 1 найдите расстояние от точки D1 до прямой EF. Решение. Пусть h – длина высоты треугольника D1 EF , опущенной из точки D1 . Найдем h, используя метод площадей. Площадь треугольни-

ка D EF равна										1	D F D E sin FD E =
ка D EF равна											D F D E sin FD E =
				1					2			1	1				1
									2
=			1		2	2	2		3			=	3	.	С		другой				стороны
=		2					3		2			=	9	.	С		другой				стороны
		2		3			3		2				9						D1 EF				равна
площадь								треугольника											D1 EF				равна
	1	FE h				=	6	h	. Из уравнения									3		=	6	h	нахо-
2		FE h				=	6	h	. Из уравнения								9			=	6	h	нахо-
2							6										9				6
дим искомое расстояние															h =		2		.
дим искомое расстояние															h =				.
																3

Замечание. Можно заметить, что выполняется

равенство			FE	2 + D E 2	= D F 2 , то есть тре-
				1	1
угольник D1 EF прямоугольный и длина отрезка
D1 E является искомым расстоянием.
Ответ:		2	.
Ответ:	3		.
	3

1. (П) В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние от точки А до прямой:

a) B1 D1 ; б) А1С; в) BD1 .

Ответ: а) 26 ; б) 36 ; в) 36 .

2. (П) В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите

расстояние от точки А до прямой ВС1 .

Ответ: 144 .

3. (П) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой:

а) DЕ; б) D1 E1 ; в) B1C1 ; г) BE1 ; д) BC1 ; е) CE1 ; ж) CF1 ; з) CB1 .

Ответ: а)	3 ; б) 2; в)			7		; г)	2 5	; д)	14	;
Ответ: а)	3 ; б) 2; в)			2		; г)	5	; д)	4	;
				2			5		4
е) 2 ; ж)	30	; з)	30		.
е) 2 ; ж)	5	; з)			.
	5		4

4. (П) Основание прямой призмы

ABCDA1 B1C1 D1	− ромб ABCD,	в котором
АВ =10, АС = 6	7. Боковое ребро	АА1 равно

3 21. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС1.

Ответ: 8.

3.Расстояние от точки до плоскости

•Расстояние от точки до плоскости, не со-

держащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

•Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

•Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

•Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

•Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Расстояние от точки М до плоскости α

1)равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой l, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α ;

2)равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β , ко-

торая проходит через точку М и параллельна плоскости α ;

3) вычисляется по формуле ρ = ρ			r	, где
3) вычисляется по формуле ρ = ρ		1 r		, где
		1 r
ρ = ρ(M ;α),	ρ1 = ρ(M1 ;α),		1
ρ = ρ(M ;α),	ρ1 = ρ(M1 ;α),		OM = r,
OM1 = r1 , MM1 ∩α = O ; в частности,				ρ = ρ1 ,
если r = r1 :

прямая m, проходящая через точку М, пересекает плоскость α в точке О, а точка М1 лежит

на прямой m;

4) вычисляется по формуле

ρ(M ;α)= ρ(M ; ABC)= 3VABCM , где треугольник

S ABC

АВС расположен на плоскости α, а объем пирамиды АВСМ равен VABCM ;

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.2019162.54 Кб2Makroekonomika_lektsii.docx
#
05.06.2015323.03 Кб17Marketing_1.docx
#
04.05.20193.24 Mб6mat-analiz-1-kurs.doc
#
17.11.2018586.75 Кб0matan.doc
#
05.06.20151.16 Mб5MatanKoll_1.doc
#
05.06.20153.32 Mб50Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S1-S5_Metod.pdf
#
05.06.2015575.26 Кб33Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S6_Metody_r.pdf
#
27.09.2019295.67 Кб2Material.docx
#
04.11.2018145.41 Кб11MatLab Лаб №2.doc
#
05.06.2015285.57 Кб20MATLAB_Практикумы 3_4.docx
#
05.06.20151.23 Mб180Mat_Analiz.docx