Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S1-S5_Metod

y0 y0 , т.е. y0 0. При y 0 система примет вид

7 3x 3ax 2 1

Если x 1, то a 103 ; если x 1, то a 43 .

Итак, значениями параметра а, при которых данная система может иметь единственное

решение, являются только a 43 и a 103 .

Пусть a 43 . Тогда данная система примет вид

Из второго уравнения этой системы следует, что x 1, y 1 . Тогда 3x 3, y y 2 . Кроме

откуда

x 1y 0.

Значит, при a 43 данная система имеет единственное решение (–1;0).

Пусть теперь a 103 . Тогда данная система примет вид

Заметим, что пары чисел (0;1) и (1;0) являются решениями этой системы. Таким образом, при

Ответ: a 43 .

20.6. (2010) Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет ровно четыре различных решения. (МГУ, 1986)

Решение. Запишем систему в виде

Заметим, что выполняются неравенства u 0 и v 0. (5)

Если u0 , v0 - какое-либо решение системы (4),

удовлетворяющее неравенствам (5), то из формул (3) следует, что исходная система будет иметь следующие решения

Пара чисел u v0 , v u0 также удовлетворяет

равенствам (4) и неравенствам (5). Поэтому решениями исходной системы уравнений будут и следующие пары чисел:

Если параметр а принимает значение, удовлетворяющее условию задачи, то среди выписанных восьми пар чисел (6) и (7) должно быть только четыре различных. Легко проверить, что это возможно лишь тогда, когда u0 0, или v0 0, или u0 v0 .

Учитывая, что пара чисел (u0 ;v0 ) должна

удовлетворять первому уравнению системы (4), заключаем, что если для некоторого значения а выполняется условие задачи, то системе (4)

обязательно должна удовлетворять по крайней

мере одна из трех пар чисел (0;1), (1; 0), 12 ; 12 .

Подставляя указанные пары во второе уравнение системы (4), убеждаемся, что это

возможно только при a 14 и a 321 .

40

Обозначив t uv, будем иметь u 2 v 2 (u v)2 2uv 1 2t,

u 4 v 4 (u 2 v 2 )2 2u 2 v 2 (1 2t)2 2t 2 1 4t

Следовательно, t удовлетворяет квадратному

значит, t 1. Следовательно, t 14 и все

неотрицательные решения системы (8) содержатся среди решений системы

u v 1

uv 14

Решая эту систему, находим, что она имеет единственное решение u 12 , v 12 . Эта пара

удовлетворяет системе (8). Для нее среди решений (6), (7) исходной системы имеется

Решая также систему (4) при a 14 ,

убеждаемся, что она имеет только два решения (0;1) и (1; 0) в неотрицательных числах. Для них

среди решений (6), (7) исходной системы имеется ровно четыре различных (0; 0), (2; 0),

Ответ: a 321 ; a 14 .

20.7. (2010) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств

y x 2 2a

x y 2 2a

имеет единственное решение. (МГУ, 1984)

Решение. Заметим, что х и у входят в систему симметричным образом. Если x0 ; y0 -

решение системы, то y0 ; x0 также является ее

решением. Так как решение должно быть единственным, то x0 y0 , и при этом число x0

удовлетворяет неравенству x02 x0 2a 0. Это неравенство должно иметь единственное

2t 2 . решение, что будет тогда, когда дискриминант

D 1 8a 0 или a 18 .

Теперь докажем, что при этом значении а данная система действительно имеет

единственное решение. При a 18 данная система примет вид

Если пара чисел x; y удовлетворяет этой

системе неравенств, то она удовлетворяет и неравенству, полученному при сложении этих неравенств. Складывая эти неравенства, имеем неравенство

выполняется только для x y 12 , т.е. оно

имеет единственное решение 1 ; 1 .

2 2

Ответ: a 18 .

20.8. (2010) Найдите все значения p, при каждом из которых найдется q такое, что система

имеет единственное решение.

Решение. Заметим, что если x0 ; y0 - решение системы, то x0 ; y0 также является ее

решением. Поэтому условие x 0 - необходимое условие для существования единственного решения. Пусть x 0 , тогда система примет вид

Проверим эти значения. Если p 1, то имеем

41

Последнее уравнение будет иметь единственный корень при q 0.

Аналогично проверяется значение p 1.

Ответ: p 1, p 1 .

20.9. (2010) Найдите все значения p, при каждом из которых для любого q система

x 2 y 2 1

y q x p

имеет решения.

Решение. Заметим, что если x0 ; y0 - решение системы, то x0 ; y0 также является ее

решением. Поэтому уравнение

1 q 2 x2 2 pq x p 2 1 0, полученное из

системы, будет иметь корни разных знаков. Для этого необходимо и достаточно выполнение

иметь, по крайней мере, корень x 0 для любого q.

Ответ: 1 p 1.

21.Функции

21.1.(2010) Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции

Указание. См. решение задания № 14.1.

Ответ: ( 5;1)

21.2. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых множество значений функции

x 2 5x 7 0 при всех х. Пусть y 0. Из

принимает

1)только неотрицательные значения;

2)как положительные, так и отрицательные значения.

Решение. 1) Для неравенства f (x) 0 имеем

Построим график функции a(x) x 2 4x x 2 32 x 1

2x 2 2,5x 1 если x ; 0,5 2;5,5x 1 если x 0,5; 2

Выделим цветом множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

a x 2 4x x 2 32 x 1.

Найдем наименьшее значение функции a(x). Сравним значения квадратного трехчлена

42

5,5( 0,5) 1 1,75 . Таким образом,

aнаим. 5732 .

Прямые, параллельные оси х, полностью находятся в заштрихованной области при a 5732 .

2) Условие «функция принимает как положительные, так и отрицательные значения» означает на графическом языке: прямые, параллельные оси х, пересекают как заштрихованную так и не заштрихованную области. Как видим из рисунка, это возможно при a 5732 .

Укажите это значение. (МГУ, 2006) Указание. Наибольшее значение квадратичной функции из условия задачи на отрезке достигается в одном из концов этого отрезка.

Ответ: 5; 4 .

21.6. (2010) Найдите все такие значения а, для которых наименьшее значение функции

x2 (1 a)x a (a 1) x 1 меньше 2.

Решение. Функция преобразуется к виду

f (x) (x 1)(x a) (a 1) x 1. Точки 1 , 1

и а разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых функция f (x) совпадает

с квадратичной (при любом раскрытии знаков модуля). На левом интервале

( x 1, x 1, x a ) функция принимает вид f (x) x 2 2ax 1 и является убывающей на интервале ( ;t) , где t одно из чисел 1 и а.

и является возрастающей на (t; ) , где t одно из чисел 1 и а. На промежуточных интервалах функция может иметь вид f (x) x 2 2ax 1 или f (x) x 2 2x 2a 1 и будет ограничена

снизу. Каждая из парабол имеет вершину либо при x 1 либо при x a . График функции представляет ломаную линию, состоящую из частей парабол. Точки 1 , 1 и а являются точками излома, поэтому в этих точках функция может принимать наименьшее значение. Получаем условия

a 2.

Ответ: ; 2 .

21.7. (2010) Найдите все такие а, что наименьшее значение функции

Решение. Переформулируем задачу: найдите все такие а, что неравенство

вершиной на оси х. Необходимо найти те промежутки, на которых имеются точки графика

43

g(x) x a , расположенных ниже графика f (x). На рисунке отмечены три пограничных расположения графика g(x) x a . Если

a 1, то графики имеют одну общую точку. Аналитически это можно показать, решив на промежутке 3;1 уравнение

Отсюда получаем a 4 или a 2, для которых x ; 3 1; . Теперь из

рисунка получаем искомые промежутки:

( 4; 1) ( 1;2).

Замечание. Если решения неравенства графически представить в системе координат аОх, то получим красивую фигуру с центром симметрии ( 1; 1).Из этого рисунка также

видим решения ( 4; 1) ( 1;2).

Ответ: ( 4; 1) ( 1;2).

21.8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция

y 0;1 ? Решая это уравнение относительно t,

a 0 не удовлетворяет условию. При a 0 функция f ( y) монотонно возрастает на отрезке

0;1 , а t при этом принимает значения от

22.Параллельный перенос (вдоль оси у)

22.1.При каких значениях параметра а уравнение x a 2x 1 имеет ровно три

корня?

Решение. График функции y 2x 1 касается

оси Ох в точках A( 0,5;0) и B(0,5;0). Функция y x a задает семейство прямых

44

параллельных прямой y x . Графики

пересекаются в трех точках тогда и только тогда, когда прямая y x a проходит через

точку А или точку С(0;1). Во всех остальных

случаях количество точек пересечения графиков функций будет или больше, или меньше трех. Определим значения параметра а в первом и во

имеет ровно три различных решений. Указание. При a 0 уравнение имеет один корень. При a 0 построим график функции

нас интересуют только те, которые пересекают построенный график в трех точках. Таких прямых только две. Для одной прямой получаем

условие a a2 , для другой прямой

2

a 2a 2 . Поскольку a 0 , то получаем ответ.

Ответ: 2; 0,5.

22.5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 5x 10 a 3x имеет

ровно три различные решения. Для каждого

полученного значения а найдите все эти решения.

Решение. Поделим обе части уравнения на 5,

x 2 a5 35x .

Построим график функции y x 2 ,

содержащий части прямых с угловыми коэффициентами k 1 или k 1. Функция

y a5 35x задает семейство прямых с угловым коэффициентом k 53 .

Условию задачи удовлетворяют два расположения прямой l: l1 и l2 .

1) Так как прямая l1 проходит через точку (0; 2), то из уравнения прямой y a5 35x получим a 10. В этом случае уравнение прямой l1 имеет вид: y 35x 2. Найдем абсциссы точек

пересечения А и В прямой l1 с неподвижным

графиком.

а) Для точки А решим уравнение

35x 2 x 2, x 2,5.

б) Для точки В решим уравнение

2) Так как прямая l2 проходит через точку ( 2; 0), то из уравнения прямой y a5 35x получим a 6. В этом случае уравнение прямой l2 имеет вид: y 35x 65 . Найдем абсциссы точек

пересечения С и D прямой l2 с

неподвижным графиком.

а) Для точки C решим уравнение

35x 65 x 2, x 0,5.

45

б) Для точки D решим уравнение

пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию g(x) x2 x2 2x 3 .

График функции f (x) пересекает ось абсцисс в трех и более точках, если уравнение g(x) a имеет более двух различных корней.

2x 3, если x ; 3 1; g(x) 2x 2 2x 3, если x 3;1

График функции g (x) состоит из двух лучей и

дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение g(x) a имеет более двух корней,

Ответ: (–3,5;1).

22.8. При каких значениях параметра а уравнение x 1 x a имеет единственное решение?

Решение. Построим график функции y x 1 . Функция y x a задает семейство прямых, параллельных прямой y x. При a 1 графики

имеют одну общую точку. Еще один случай, когда графики имеют одну общую точку,

прямая y x a является касательной. Угловой коэффициент касательной равен 1. Так как

для нахождения абсциссы x0 точки касания. Из уравнения находим x0 0,75 , а из уравнения y x 1 находим y0 0,5. Подставим координаты точки 0,75;0,5 в уравнение

y x a , получим a 1,25 .

Ответ: a 1,25 или a 1.

22.9. При каких значениях а неравенство

Функция y a x для каждого значения а

задает прямую, которая с изменением а перемещается параллельно самой себе (с ростом а перемещается вверх).

Исходное неравенство будет выполняться до тех пор, пока точки окружности будут выше точек прямой, т.е. пока прямая не станет касательной к окружности. Это произойдет при

a 2. Значение a 2 можно найти и аналитически, если решить уравнение

1 x 2 a x, и после возведения в квадрат

потребовать, чтобы дискриминант полученного квадратного уравнения был равен нулю.

46

Итак, при a 2 данное неравенство имеет решения.

Ответ: a 2 .

22.11. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

x 2 y 2 1

x y a

имеет единственное решение.

Решение. Изобразим в одной координатной плоскости графики, заданные уравнениями системы.

На рисунке видно, что система будет иметь единственное решение, если прямая

касается окружности x2 y 2 1 и ее решениями

будут координаты точек Е и D. Найдем значение а, при котором прямая

касается окружности, для чего рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ODA (это действительно так, ибо прямая

y x, а значит и прямая y a x, составляют с положительным направлением оси Ох угол в 45 ). Так как OD AD 1, по теореме Пифагора

получаем a OA a.

Тогда второе значение а, при котором прямая

Ответ: a 2 .

22.12. Найдите значения параметра а, при

различных решения.

Решение. Первое уравнение системы задает окружность радиуса 1 с центром (0; 0). Второе

уравнение y x a задает семейство «уголков» с вершиной на оси у.

Из рисунка видно, что условию задачи удовлетворяют следующие значения

a 2 1;1 .

Ответ: a 2 1;1 .

23. Параллельный перенос (вдоль оси х)

23.1. При каких значениях b уравнение

x b x 3 имеет единственное решение?

Решение. Рассмотрим неподвижный график (прямую) функции y x 3 и семейство

графиков, состоящих из полупарабол y x b с вершиной на оси х.

Если вершина полупараболы лежит левее точки3;0 , то точка пересечения одна. В этом случае b 3 или b 3. Если вершина находится в точке 3;0 , то имеется две точки пересечения. Тогда b 3. Точек пересечения

47

будет две до тех пор, пока прямая y x 3 не станет касательной к графику функции

y x b . Так как угловой коэффициент

касательной равен 1, то найдем абсциссу точки касания из условия y x0 1.

x0 2,5 , т.е. вершина параболы находится в точке 2,75;0 . В этом случае точка пересечения графиков одна. При b 2,75 точек

пересечения графиков не будет.

Ответ: b 2,75; b 3.

23.2. (2010) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

2x a 1 x 3

имеет ровно один корень. Решение. Перепишем уравнение

Функция g(x) 2x a задает семейство

уголков с вершиной на оси х, состоящий из лучей с угловыми коэффициентами 2 и 2.

Условию задачи удовлетворяет два случая расположения графиков: если вершина движущегося уголка попадает в точку ( 4; 0)

или точку ( 2; 0) . Координаты этих точек удовлетворяют уравнению g(x) 2x a . Имеем 8 a 0 или 4 a 0. Отсюда получаем ответ.

Ответ: a 52 , a 192 .

23.7. (2010) Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства

3 x x a 2 является отрезок.

Указание. Перепишем неравенство в виде 3 x 2 x a , и нарисуем эскизы графиков

функций, стоящих в левой и правой частях неравенства.

Рассматривая взаимное расположение графиков при разных значениях а, получаем:

–1 < a < 1 или 1,25 a 5.

23.9. Найдите все значения a, при которых уравнение

a 6x x2 8 3 1 2ax a 2 x 2 имеет

ровно одно решение. (МГУ, 1994) Указание. График левой части уравнения

3 1 (x 3)2 a 1 (x a)2 ,

равносильного исходному, есть нижняя единичная полуокружность с центром в точке (3;3), а график правой части – такая же

полуокружность, но с центром (a; a). Изменяя

параметр в сторону возрастания, получим, что указанные графики впервые пересекаются, причем имеют единственную точку, при a 2. Эта ситуация сохраняется при дальнейшем увеличении а (кроме случая a 3, когда

полуокружности сливаются) до значения a 4,

а затем графики расходятся и не имеют общих точек.

Ответ: 2;3 3; 4 .

49

24.Поворот

24.1.Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение x 2 ax 1?

Решение. Рассмотрим графики двух функций. Графиком функции f (x) x 2 является

«уголок» с вершиной в точке 2;0 . Функция g (x) ax 1 задает семейство прямых, проходящих через точку 0;1 . При изменении

поворачивается по направлению против часовой стрелки между состояниями, близкими к вертикальным.

Из рисунка видно, что при a 1 график функции g (x) ax 1 параллелен одной из

ветвей графика функции f (x) x 2 . Найдем

Подставим координаты точки 2;0 в уравнение y ax 1, отсюда a 0,5 .

Изменяя значения параметра а от до , определяем соответствующее количество точек пересечения рассматриваемых графиков.

При a ; 1 графики пересекаются в одной точке, значит, данное уравнение имеет один корень. Если a 1;0,5 , то прямая

y ax 1 пересекает график f (x) в двух

точках, т.е. исходное уравнение имеет два корня. При a 0,5 уравнение имеет одно

решение (общая точка 2;0 ). Если a 0,5;1 , то графики f (x) и g (x) не пересекаются, уравнение не имеет решений. При a 1; оба

графика пересекаются в одной точке. Ответ дадим в виде таблицы.