Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S1-S5_Metod

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

3.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

на промежутке				∞ , то		log ,	убывает
Решение. Так как функция							убывает
равносильно		системе			данное неравенство
равносильно			0;		√5		√5	0
	2		3		√5		√5	0
	2		0		1		2	0
+				–	+
+	–√5			–		√5	+
			–2		1

Ответ: (− 5; −2)(; 1; 5).

НекоторыеU стандартные схемы для решения неравенств, содержащих знак модуля:

●

f (x)

< g(x)

f (x) < g(x),

f (x) > −g(x),

●

f (x)

≤ g(x)

f (x) ≤ g(x),

f (x) ≥ −g(x),

●

f (x)

> g(x)

f (x) > g(x)

f (x) < −g(x)

●

f (x)

≥ g(x)

f (x) ≥ g(x)

f (x) ≤ −g(x)

●

f (x)

g(x)

f 2 (x) > g 2 (x)

(f (x) − g(x))(f (x) + g(x))> 0

●

f (x)

≥

g(x)

f 2 (x) ≥ g 2 (x)

(f (x) − g(x))(f (x) + g(x))≥ 0

Пример 5. Решите неравенство

x7 + 4x5 + x 2 + 2x − 3 < x 7 + 4x5 − x 2 − 2x + 3

Решение. Данное неравенство равносильно сис-

теме неравенств

+ 4x

− x

−2x +3

+ 4x

+ x

+ 2x −3 < x

+ 4x

+ x

+ 2x −3 > −(x

+ 4x

− x

−2x +3)

или

+ 2x

−3 < 0

−3 < x <1

0 < x <1

+ 4)> 0

x > 0

Ответ:

0 < x <1.

Метод расщепления неравенств

●f (x) g ( x) ≥ 0

●f (x) g (x) ≤ 0


	f (x)
●	f (x)	≥ 0

	g(x)




	f (x)
●	f (x)	≤ 0

	g(x)

Пример 6. (2010)

f (x) ≥ 0,

g(x) ≥ 0,

f (x) ≤ 0,

g(x) ≤ 0.

f (x) ≥ 0,

g(x) ≤ 0,

f (x) ≤ 0,

g(x) ≥ 0.

f (x) ≥ 0, g(x) > 0, f (x) ≤ 0, g(x) < 0. f (x) ≥ 0, g(x) < 0, f (x) ≤ 0, g(x) > 0.

Решите неравенство

x2 −6x +9 −1 2

−6x +9 −1

x +

≥ 4

5 − x −1

Решение.

Приведем данное неравенство к сле-

дующему виду:

2 −6x +9 −1 2

5 − x −1

Последнее неравенство равносильно совокупности систем:

	\|		4 0			0
		\|
1)					4
	√			0	5

3		4
4		5	4	0			0
2)					\| 3\|
2)
	\|	\|		0		4	1
	√			0		5

Ответ: 0 < x ≤ 1, x = 2, 3 ≤ x < 4, 4 < x ≤ 5.

Перебор случаев

Пример 7. (2010) Решите неравенство

2x +2 x ≥ 2 2.

Решение. Данное неравенство определено при всех значениях х. Рассмотрим два случая.

1. Пусть

тогда неравенство примет сле-

дующий вид: 0,

x ≥

2 x

+ 2 x

≥ 2

2 x

≥ 2

(в силу

y = 2t

возрастания функции

2. Если

0, то имеем:

−2 2

t +1 ≥ 0

≥ 2

= t

> 0

		2 +1
t ≥		2 +1
t ≤		2 −1

2 x = t
t	> 0



x ≥ log2 (					2 +1)
	≤ log			(	2 −1)
x	≤ log		2	(	2 −1)
			2

Сравним два числа

2x ≥ 2 +12x ≤ 2 −1

log2 ( 2 +1) и .

или

log2 (

2 +11) >

12,.

Так как

√2

√

то log (

+1) > log

Объединим решения, полученные в первом и

втором случаях.

Ответ: (−∞;log2

(

−1)]

; +∞

Пример 8. (2010) Решите неравенство

log2 (x2 −4)−3log2

x +2

> 2.

Решение.

x −2

Область определения данного нера-

венства определяется условием:

Отсюда получаем два про-

Рассмотрим ∞;

∞ .

межутка:

Тогда

два случая.

;

1. Пусть

log

неравенство принимает следующий вид:

log

3log

или

2log

log

Отсюда				2	2	2 ,	6		0.		С
учетом		2	получаем			6.
2. Пусть		2				6.
В этом случае				неравенство принимает следую-
В этом случае				2.
щий вид:
log 2		log		2	3log	2 3log	2		2	;
или	2log	2			log	2	1	.
Отсюда		2			2	2 ,
Отсюда

28 0. Так как уравнение

28 0 не имеет корней и старший коэффициент больше нуля, то последнее неравенство выполняется при всех значениях х.

Ответ: x <−2 или x >6.	2.
С учетом второго случая имеем

Метод интервалов

Пример 9. (2010) Решите неравенство

	x−2		3x −10 3x +9 ≥ 0.
3 2		−1	3x −10 3x +9 ≥ 0.

Решение. Используем метод интервалов. 1). Рассмотрим функцию

		x−2		3x −10 3x +9.
f (x) =	3 2		−1	3x −10 3x +9.

2) Найдем область определения функции f (x).

Для этого решим неравенство 3x −10 3x +9							0
(*), используя метод интервалов.							0
а) Пусть		g(x) = 3x −10 3x +9 .
б) D(g) = R						1
в) g(x) = 0 3x −10 3x +9 = 0,
10,		9 0		√3
9			, где		. Имеем		и
9	тогда		0	и	4.
	тогда			и

г) Промежутки знакопостоянства функции g(x). 1 0. Используя свойство знакочередования значений функции g(x), находим решения не-

∞

;0 –

∞

равенства (*):

Следовательно,

∞

3) Нулиx−2

функции f (x).

−10 3x +9

= 0.

3 2 −1 3x

Получаем

или

знакопостоянства функции f(x).

4) Промежутки2,

Отсюда

при всех

значениях x {0} [4;+∞).

–	f(x) не оп-	+
0	ределена	4

Ответ: {0} [4;+∞).

Метод введения новой переменной

Пример 10. (2010) Решите неравенство

			x −	2		≤3.
				x −2

Решение.		Пусть		,	тогда получаем рацио-

нальное	неравенство
			√

3, 0.

–	+	–		+
	1	2	4	t

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем:

	1	√				1	0			1
2	4	4;16 .					4			16
2	4						4			16
Ответ: [0;1]
Ответ: [0;1]		2	Решите4неравенство
Пример 11. (2010)				√
	log x+3	(9 − x2 )−			1	log2x+3 (x −3)2				≥ 2.
	log x+3	(9 − x2 )−				log2x+3 (x −3)2				≥ 2.
			16
Решение. Преобразуем неравенство
	logx+3 ((3 − x)(3 + x))−						1	log2x+3	x −3		≥ 2
							1
							4
							4

Найдем, при каких значениях х левая часть неравенства имеет смысл:

− x

> 0

3 − x > 0

x < 3

x +3 > 0

> 0

≠1

x +3

x > −3

x +3

≠1

x +3

x ≠ −2

≠ 0

2при всех2

x −3

Получаем:

Значит,

х.

3| 3

допустимых

значениях

Поэтому

logx+3 (3 − x) +logx+3 (3 + x) −

log2x+3 (3 − x) ≥ 2

Сделаем замену log

. Получаем

Таким

откуда

образом,

log;

Корни урав-

нения3: –6 и3

–1.

Условию

только

или

удов-

летворяет

Ответ: –1.

Предполагаемые критерии:

Содержание критерия			Баллы
Обоснованно получен вер-			3
ный ответ.

При верном решении допу-
щена	вычислительная
ошибка, не влияющая на
правильность		последова-	2
тельности рассуждений, и,
возможно, приведшая к не-
верному ответу.
Получен ответ,		содержащий
наряду с правильным по-			1
стороннее решение.
Решение	не соответствует
ни одному из критериев, пе-			0
речисленных выше.

Метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены функции, правило знаков)

● Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F ( x) на более простое вы-

ражение	G( x), при которой	неравенство
G( x) 0	равносильно неравенству	F ( x) 0 в

области определения выражения F ( x).

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f , g, h, p, q - выражения с переменной х

(h > 0; h ≠ 1; f > 0; g > 0) ,

а – фиксированное

число ( a > 0; a ≠1).

№

Выражение F

Выражение G

loga

f −loga

(a −1)( f

− g )

1а

loga

f −1

(a −1)( f − a)

(a −1)( f

−1)

1б

loga

logh

f −logh

(h −1)( f

− g )

2а

logh

f −1

(h −1)( f − h)

(h −1)( f

−1)

2б

logh

log f

h −logg

( f −1)( g −1) ×

( g ≠

1, f

≠ 1)

× (h −1)( g − f )

h f

− h g

(h > 0)

(h −1)( f − g )

4а

−

(h −1) f

f h − g h

( f − g )h

( f

> 0; g > 0)

−

( f − g )( f + g )

НекоторыеU следствияU (с учетом области определения неравенства):


● log	·log			1	0	1	1	1	1	1	0	0
● log		log		1	0	1	1	1	1	1	0	0
●			0				0
●	0		0			0	0
●
●

Пример 12. (2010) Решите неравенство

Решение.				log2x+3 x2		<1.
		Запишем			неравенство			в виде
log2x+3 x2 −1 < 0				и заменим его равносильной
системой, используя метод рационализации
2	2	3	2	3	0
	2		0	0	1	1,5	3	0
				1
						0

Ответ: (−1,5;−1) (−1;0) (0;3).

Пример 13. (2010) Решите неравенство log x+2 (4 + 7x − 2x2 )≤ 2.

Решение. Запишем неравенство в виде

log x+2 (4 + 7x − 2x2 )−log x+2 (x + 2)2 ≤ 0 и заме-

ним его равносильной системой, используя метод рационализации

\|	2\| 1 4	7	2			0	0	4	4	0
	4	7	2	2		0	0
	2	1	3			3	0
	0,5		24			0
		1	0,5		3	24	1	0	0

+	–	+	0		–	+
	–+3	–1	0	–	1	+
		–0,5				4

Ответ: (−0,5;0] [1;4).

Пример 14. (2010) Решите неравенство log x (log x 3 − x )≥ 0.

Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1 log			√		3			1	0
log3	√		3			0	0	0
						3
3		1				1	3		0
3		1				√	3		0
1		√		3			3	1	0
1		3					0		0
1		3					1	1	0
1		3					3	1	0
							0
							1

√ √ 0

√2.

Ответ: 13 −1; 2 .2

Пример 15. (2010) Решите неравенство log12x2 −41x+35 (3 − x) ≥ log2x2 −5x+3 (3 − x).

Решение. Запишем неравенство в виде

иlog										3					log				3		0
заменим его равносильной системой, исполь-
зуя метод рационализации																2			10	36	32	0
12					41		34			2	12		5		2	2	35		10	36	32	0
											12				41		35		0
												2			5		3		0
											12				41		34		0
												2			5		2		0
									8				3				0
					4				8				17					1
(x	−	2)				x	−			x −					x	−			≥ 0
(x	−	2)				x	−			x −					x	−			≥ 0
									5				12					2
			5						7
x	−			x −						>	0
x	−			x −						>	0
			3						4
							3
(x	−1) x −									> 0
(x	−1) x −						2			> 0
							2
		17
x	−					(x	−2)≠ 0
x	−	12				(x	−2)≠ 0
		12
								1
								1
(x	−	2) x −								≠ 0
(x	−	2) x −								≠ 0
								2

x < 3
Для решения первых трех неравенств системы
используем метод интервалов.
Самостоятельно рассмотрите рисунки и выбери-
те общую часть для решения системы.
						1					8			5	7
Ответ:							;1					;					; 2		(2;3).
Ответ:							;1				5	;				4	; 2		(2;3).
						2					5			3		4

Использование свойств функции

аU ) область определения функции

Пример 16. Решите неравенство

(	x2 −6x +5 +1) log	5	x	+	1	( 12x −2x2	−10 +1) > 0
			5		x

Решение. Область определения неравенства задается условиями:

x2 −6x +5 ≥ 0,			1
x > 0		−10 ≥ 0	1
12x − 2x2		−10 ≥ 0	5

	1
При	1	получаем, что исходное неравенство
При		получаем, что исходное неравенство
обращается в неверное неравенство 0 > 0.				0
При		имеем верное неравенство			.
При		имеем верное неравенство			.
Ответ: 5.5

бU ) ограниченность функции

Пример 17. Решите неравенство

log5 x ≤ 1− x4

Решение. Область определения неравенства задается условиями:

x > 0,

0 < x ≤1.

1− x4 ≥ 0

Для всех x из полученного множества имеем

log5 x ≤ 0 ,	а	1−x4 ≥0 .		Следовательно,
решением	этого		неравенства		является
промежуток (0;1].
Ответ: (0;1].
вU )	монотонность функции
Пример 18. Решите неравенство
√	2	log	2	√1	4

Решение. Область определения данного неравенства есть промежуток [0;1]. Функция

возрастает на	промежутке			как	сумма
	2этом log		2	√1
возрастающих√	функций.	Так как				, то
все значения	х	из	множества		[0;1)
				1	4

удовлетворяют исходному неравенству.

Ответ: [0;1).

Упражнения

1. (2010) Решите неравенство

log x+2 (4 +7x − 2x2 )≤ 2.

Ответ: (−0,5;0] [1;4).

2. (2010) Решите неравенство

log3x−1 (2x2 + x −1)≤ log3x−1 (11x −6 −3x2 ).

	x+2						x+2
Ответ: {1} (1,5;3).
3. (2010) Решите неравенство
		4x2 +3x−2 −(0,5)2 x2 +2 x−1
								≤ 0.
				5x −	1			≤ 0.
				5x −	1
			5		1
Ответ: −∞; −				0;		.
Ответ: −∞; −				0;	2	.
			2		2

4. (2010) Решите неравенство

log	0,2	1	+ log	5	(2 − x)
log		2x −1	+ log		(2 − x)		≥ 0.
		2x −1
					1
log5 (2x −1) + log 0,2
log5 (2x −1) + log 0,2						3 − 2x

Ответ: (0,5;1).

5. (2010) Решите неравенство log2x+3 x2 <1.

Ответ: (−1,5;−1) (−1;0) (0;3).

6. (2010) Решите неравенство logx (log9 (3x −9))<1.

Ответ: (log3 10; +∞).

7. (2010) Решите неравенство

log2 (3 2 x−1 −1)≥1. x

Ответ: log2 2 ;0 ; [1; +∞).

8. (2010) Решите неравенство

log5 (x +2) +log5 (1− x) ≤ log5 ((1− x)(x2 −8x −8)).

Ответ: −2 < x ≤ −1.

9. (2010) Решите неравенство

log x (log x 3 − x )≥ 0.

Ответ: 13 −1; 2 .2

10. (2010) Решите неравенство

logx+1 (19 +18x − x2 )−

log2x+1 (x −19)2

≥ 2.

Ответ: 3.

11. (2010) Решите неравенство

log22 x−3

+log2 x−3 (9x2 −30x + 25)+7

3x −5

≤ 3.

2 log2 x−3 (6x2 −19x +15)−1

Ответ:

12. (2010) Решите неравенство

log2 (3x + 2)

≤ 0.

log3 (2x +3)

Ответ:

−

; −

13. (2010) Решите неравенство

log2 (2x2 −13x + 20)−1 ≤ 0. log3 (x +7)

Ответ: (−7;6) [2;2,5) (4;4,5].

14. (2010) Решите неравенство

log0,1 (x2 + x −2)> log0,1 (x +3).

Ответ: (− 5; −2)(; 1; 5).

15. (2010) Решите неравенство

1 log2 (x2 −1) >1.2

Ответ: (− 2; −1)(; 1; 2).

16. (2010) Решите неравенство

−4

< 0.

log 1

(x2 −1)

Ответ: (−∞; −2);(−

2; −1)(; 1; 2) (2; +∞).

17. (2010) Решите неравенство

log

((x + 2)(x + 4))

+ log

(x + 2) <

log

Ответ: −2 < x <3.

18. (2010) Решите неравенство

log

3x − 2

+3log

(x −1)3

<1.

x −1

3x −2

Ответ: 1− 2 < x < 23 , 1 < x <1+ 2.

19. (2010) Решите неравенство

log2−x (x + 2) log x+3 (3 − x) ≤ 0.

Ответ: (−2;−1] (1;2).

20. (2010) Решите неравенство

logx+2 (36 +16x − x2 )−

log2x+2 (x −18)2 ≥ 2.

Ответ: 2.

21. (2010) Решите неравенство

log3 x

<1.

log3 (3x + 2)

Ответ: (0; ∞).

22. (2010) Решите неравенство

(log3 (10x +3))

(log3 (3x +10))

≥ 0.

(log3 10x) log3 x

Ответ: (0; 0,1) (1; ∞).

23. (2010) Решите неравенство

log2x+2 (x −18)2 +32 ≤16logx+2 (36 +16x − x2 ).

Ответ: 2.

24. (2010) Решите неравенство

log12x2 −41x+35 (3 − x) ≥ log2x2 −5x+3 (3 − x).

Ответ:

;

; 2

(2;3).

25. (2010) Решите неравенство

log x+3 (9 − x2 )−

log2x+3 (x −3)2 ≥ 2.

Ответ: –1.

26. (2010) Решите неравенство

log

> 0.

2 x

−7 x+6 3

Ответ: 1 < x < 32 , 2 < x < 52 , x > 3.

27.(2010) Решите неравенство

xlg x > 10 x −lg x + 3.

Ответ: 0 < x <10−

lg5 , 10 lg5 < x.

28. (2010) Решите неравенство

(0,3)2x2 −3x+6 < 0,00243.

−∞;

(1; + ∞).

Ответ:

29. (2010) Решите неравенство

8 8x

> 4096.

Ответ:

; +∞ .

30. (2010) Решите неравенство

log0,5 (x2 −5x +6)>−1.

Ответ: (1; 2) (3; 4).

31. (2010) Решите неравенство

log

−3x

≥ −1.

Ответ:

;

32. (2010) Решите неравенство

≥ 2

Ответ: (−∞;log2 (

2 −1)]

; +∞ .

33. (2010) Решите неравенство

3x−2

>1+

−2x

Ответ:

0;log2

34. (2010) Решите неравенство

Ответ: [0;64).

35. (2010) Решите неравенство

log1 (x +1) > log3 (x −2).

Ответ:

36. (2010) Решите неравенство

x lg x−2

<100.

Ответ: (1;1000 ).

37. (2010) Решите неравенство

log

(

9 − x2

− x −1)≥1.

Ответ: [− 8; −1) −2 +

44 ; +∞ .

38. (2010)

Решите неравенство

x −

≤3.

x −2

39. (2010)

4;16 .

Ответ: [0;1]

Решите неравенство

+2 ≥

40. (2010)

x −3

9;16 .

Ответ: [0;1]

Решите неравенство

4 − x2

≥ 0.

Ответ: [− 3;0) (0;2].

41. (2010)

Решите неравенство

4 − x

2 ≥

Ответ: [−2;0) (0; 3].

42. (2010)

Решите уравнение

x +4 x −4 + x −4 x −4 = 4.

Ответ: [4;8].

43. (2010)

Решите уравнение

x +2 x −1 − x −2 x −1 = 2.

Ответ: x ≥2.

44. (2010) Решите неравенство

log2 (x2 −4)−3log2 xx +−22 > 2.

Ответ: x <−2 или x >6.

45. (2010) Решите неравенство

log2 x −5 ≥ 2 log2 x. 1−2 log2 x

Ответ: 0 < x ≤ 12 , 2 < x ≤ 24 2.

46. (2010) Решите неравенство

1 − x3 −1 ≤ x. x +1

Ответ: [−2;−1), [0;1].

47. (2010) Решите неравенство

7 − x <	x3	− 6x 2	+14x − 7	.
		x	−1

Ответ: 1 < x < 2, 3 < x ≤ 7.

48. (2010) Решите неравенство

5 − x <	x3	− 7 x 2	+14 x −5	.
		x	−1

Ответ: 1 < x < 2, 4 < x ≤ 5.

49. (2010) Решите неравенство

logx (7 − x) < logx (x3 −6x2 +14x −7)−logx (x −1).

Ответ: 1 < x < 2, 3 < x < 7.

50.

(2010) Решите неравенство

logx (5 − x) < logx (x3 −7x2 +14x −5)−logx (x −1).

Ответ: 1 < x < 2, 4 < x < 5.

51.

(2010) Решите неравенство

x−2

3x −10 3x

3 2 −

+9 ≥ 0.

Ответ: {0} [4;+∞).

52.

(2010) Решите неравенство

x−4

2x −10 2x

+16 ≥ 0.

2 2 −1

Ответ: {2} [6;+∞).

53.

(2010) Решите неравенство

x2 −6x +9 −1

−6x +9 −1

≥ 4

5 − x −1

Ответ:

0 < x ≤ 1, x = 2, 3 ≤ x < 4, 4 < x ≤ 5.

54.

(2010) Решите неравенство

x2 −8x +16 −1

2 −8x +16 −1

≥ 5

6 − x −1

Ответ:

0 < x ≤ 1, x = 3, 4 ≤ x < 5, 5 < x ≤ 6.

55.

(2010) Решите неравенство

x +

(log(5−x) (x

−6x +

9))

≥

≥ 4 (log(5−x) (x2

−6x +9))2 .

Ответ:

0 < x ≤ 1, x = 2, 3 < x < 4, 4 < x < 5.

56.

(2010) Решите неравенство

(log(6−x) (x

−8x +16))

≥

≥5 (log(6−x) (x2

−8x +16))2 .

Ответ:

0 < x ≤ 1, x = 3, 4 < x < 5, 5 < x < 6.

57.

Решите неравенство

Ответ:

log

или

log√

58.

Решите неравенство

1 .

Ответ:

или

59.

√6

Решите неравенство

log

Ответ:

или

60.

Решите0;10

неравенство

log	5	1	2
	2

Ответ: 12 ;1 , [2;+∞).

61. Решите неравенство

log x (log x 6 − x )> 0.

Ответ: (2;5)

62. Решите неравенство

log

Ответ: (–4;–3) [1;+∞).

Источники

1.Дорофеев Г.В. Обобщение метода интервалов // Математика в школе, 1969, №3.

2.ЕГЭ. Математика. Тематическая тетрадь.

11класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство

«Экзамен», 2010.

3.Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интел- лект-Центр, 2010.

4.ЕГЭ 2010. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., Захаров П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В.

– М.: МЦНМО, 2009.

5.ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2010.

6.Панферов В. С., Сергеев И. Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: Ителлект-Центр, 2010.

7.Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2009. – (Федеральный институт педагогических измерений).

8.Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания. – М.:

МЦНМО, 2009.

9.Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: Учебнометод. пособие / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Дрофа, 2001.

10.wwwUH .mathege.ruHU - Математика ЕГЭ 2010 (открытый банк заданий)

11. wwwHU .alexlarin.narod.ruUH - сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовкеH к ЕГЭ,H поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

Замеченные опечатки в С1

● В задании № 15 вместо ответа (−4;4) должно быть (−4; −4).

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010

Задания С4

Корянов А. Г.

г. Брянск

Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru

Многовариантные задачи по планиметрии

1.Взаимное расположение элементов фигуры:

а) выбор линейного элемента; б) выбор углового элемента;

в) выбор отношения отрезков, площадей фигур.

2.Взаимное расположение двух фигур: а) точки и прямой (расположение точки на прямой или в одной из полуплоскостей); б) точки и двух параллельных прямых;

в) точки и отрезка, лежащих на одной прямой (или трех точек, лежащих на одной прямой); г) точки и окружности;

д) точки и многоугольника; е) вписанный угол, опирающийся на хор-

ду (вид угла – острый, прямой или тупой); ж) треугольник, вписанный в окружность

(расположение центра окружности относительно треугольника); з) трапеция, вписанная в окружность

(расположение центра окружности относительно трапеции); и) касающиеся окружности (внутреннее или внешнее касание);

к) непересекающиеся окружности и касательные (внутренние или внешние); л) пересекающиеся окружности (расположение центров окружностей относительно их общей хорды)

Выбор средней линии треугольника

Пример 1. Площадь треугольника ABC равна 4. — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

● Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

• Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Решение. 1) Отрезок DE параллелен отрезку АВ. Треугольники EDC и АВС подобны. Тогда

	1	2	1
SEDC =		SABC =		4	=1.
	2		4

2) Отрезок DE параллелен отрезку ВС. Так как CD – медиана треугольника АВС, то

SADC =12 SABC = 12 4 = 2. DЕ – медиана тре-

угольника АDС, поэтому

SCDE =12 SADC = 12 2 =1.

3) Отрезок DE параллелен отрезку АС (рассмотрите самостоятельно).

Ответ: 1.

Выбор оснований трапеции

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.2019162.54 Кб2Makroekonomika_lektsii.docx
#
05.06.2015323.03 Кб17Marketing_1.docx
#
04.05.20193.24 Mб6mat-analiz-1-kurs.doc
#
17.11.2018586.75 Кб1matan.doc
#
05.06.20151.16 Mб5MatanKoll_1.doc
#
05.06.20153.32 Mб50Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S1-S5_Metod.pdf
#
05.06.2015575.26 Кб33Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S6_Metody_r.pdf
#
27.09.2019295.67 Кб2Material.docx
#
04.11.2018145.41 Кб11MatLab Лаб №2.doc
#
05.06.2015285.57 Кб20MATLAB_Практикумы 3_4.docx
#
05.06.20151.23 Mб181Mat_Analiz.docx