- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида .
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ( ).
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
Теорема 1:
Если функции интегрируемы на и
Доказательство:
выполняется неравенство , тогда . Так как интегралы по условию существуют, по теореме о предельном переходе под знаком неравенства, . Теорема доказана.
Следствие:
Если - интегрируема на , то, по доказанному выше, - интегрируем на данном отрезке; тогда
Доказательство:
Известно неравенство: ; по данной теореме
; из самого правого интеграла минус можно вынести; получим:
. Следствие доказано.
Теорема 2: (о среднем)
Пусть интегрируемы на , причем на данном промежутке, тогда
, где ,
и
Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.
Доказательство:
Запишем неравенство: и домножим его на :
; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах:
( )
Если , то и интеграл и неравенство ( ) выполняется.
Если , тогда по теореме о неравенствах , значит можно неравенство ( ) на него разделить:
и принимаем за . Теорема доказана.
Следствие:
Если непрерывна на и выполняется условие теоремы, то
Доказательство:
Т.к. непрерывна на , то она достигает своего max и min значения, а в силу непрерывности sup=max, inf=min; значит - по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие доказано.
Следствие к следствию:
Если непрерывна на , то
Доказательство:
Возьмем , тогда (по следствию) . Следствие доказано.
Г еометрический смысл этого следствия:
Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется такая точка , что площадь этой криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника с высотой .
Билет 47
Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке . По аддитивному свойству интеграла:
, можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию .
Теорема:
Если функция интегрируема на отрезке , то непрерывна на отрезке .
Доказательство:
Рассмотрим функцию ,
, где , , , где
Теорема доказана.
Теорема:
Пусть функция интегрируема на отрезке , непрерывна в точке , тогда функция дифференцируема в точке и .
Доказательство:
,
, , т.е.
.
Теорема доказана.
Следствие:
Если функция непрерывна на отрезке , то , т.е. - первообразная .
,
Функция непрерывна в точке , ; , где непрерывна на отрезке . Заключаем, что .
Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.
Теорема доказана.
Формула Ньютона-Лейбница:
Функция непрерывна на отрезке , тогда она имеет первообразную. Пусть - её произвольная первообразная. Тогда .
Доказательство:
Функция непрерывна на отрезке , - первообразная функции ,
, ,
. Теорема доказана.