- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида .
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ( ).
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
Определение: Функция называется строго возрастающей на отрезке [a,b], если для любых точек , из [a,b], удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .
Определение: Функция называется неубывающей на [a,b], если из того, что и следует, что .
Определение: Функция называется строго убывающей на отрезке [a,b], если из того, что и следует, что .
Определение: Функция называется невозрастающей на [a,b], если из того, что и следует, что .
Пример:
Если убывает на и на , то нельзя говорить, что убывает на .
Теорема 1: (необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )
Если функция возрастает (неубывает) в точке и дифференцируема в , то .
Доказательство:
Теорема доказана.
Пример: возрастает в 0 и
Теорема 1’: (необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )
Если функция убывает (невозрастает) в точке и дифференцируема в , то .
Доказательство – аналогично теореме 1.
Теорема 2: (достаточное условие возрастания)
Если функция дифференцируема в и , то возрастает в точке .
Доказательство:
возрастает.
Теорема доказана.
Замечание: Если в точке , то ни про возрастание, ни про убывание ничего сказать нельзя.
Билет 16
Достаточные условия экстремума.
Теорема 1: (первое достаточное условие существования экстремума)
Если f(x) дифференцируема в , f’ имеет разные знаки слева и справа от Xo => Xo – точка экстремума.
Доказательство:
Т.к f(x) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.
- max
- min
Теорема доказана.
Теорема 2: (второе достаточное условие существования экстремума)
Если в f( )=0, f’’( )>0 – min; f’’( )<0 – max
Доказательство:
f’( )=0, существует f’’( )=> f’ определена в U( )
f’(x) в точке возрастает(f’’( )>0)
f’(x) в точке убывает(f’’( )<0)
1) f’’( )>0 f’(x) возрастает, f’( )=0 =>
п ри x<
при x< => – точка минимума
2) Аналогично для f’’( )<0…
Билет 17
Формула Тейлора для многочленов.
Рассмотрим произвольный многочлен степени n:
(1)
Пусть a – любое фиксированное число, тогда, полагая , получим
(2)
Это выражение называют разложение многочлена по степеням . Здесь – числа, зависящие от и , – коэффициенты разложения по степеням .
Подставим в выражение (2) , получим
(3)
Найдем последовательные производные и подставим в ним
Таким образом, многочлен может быть представлен в виде
или
Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть этого выражения фактически не зависит от .
Билет 18