Фракталы в экономических кризисах
Математики из Токийского университета установили, что финансовый рынок до и после обвала подчиняется тем же закономерностям, что и фазовые переходы в физике конденсированных сред. При этом, отмечают ученые, поведение биржевых индексов вблизи «критической точки» напоминает кардиограмму или кривую сейсмографа81 (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Функционально-графическая развертка биржевого индекса
Считается, что за короткое время рынок испытывает колебания, которые подчиняются статистической схеме «случайных блужданий»: вероятность конкретного отклонения тем меньше, чем больше само отклонение. Такой ситуации соответствует универсальная «гауссова формула», описывающая сумму независимых слагаемых одинаковой природы, если их достаточно много. «Неровность» графика, или усредненную амплитуду колебаний, экономисты называют волатильностью (эта величина является оценкой "стабильности" того или иного рыночного процесса).
Однако, как выяснили математики, рядом с критической точкой гауссов закон не соблюдается: колебания разной силы становятся равновероятными, а график оказывается фракталом, или «самоподобной кривой»: он сам и любой его фрагмент статистически одинаковы, а волатильность перестает быть содержательной характеристикой. Аналогом этого называют, например, фазовый переход в магнитных материалах, когда при определенной температуре «магнитные моменты» отдельных атомов начинают спонтанно менять ориентацию.
Временные ряды. Наиболее интригующим и заманчивым приложением теории нелинейных систем является прогнозирование динамики порождаемых ими временных рядов. Как известно, большинство систем (природных, таких, например, как атмосфера, или искусственных - биржа), в силу их сложности, не могут быть смоделированы с достаточной точностью. Но их описание допустимо выполнять посредством иного подхода, основанного на наблюдении за их поведением. Наблюдаемая (сигнал, реализация) — это функция от времени, по которой судят о процессе в исследуемой системе. Иными словами, наблюдаемая — это временной ряд. Например, для атмосферы в качестве наблюдаемой может выступать, скажем, изменение температуры, для биржи — ежедневный курс ценных бумаг и т. п. Если такую наблюдаемую определенным образом обработать, то при некоторых условиях возможно с большой точностью произвести оценку будущего значения временного ряда, причем эта оценка представляет собой функцию только от предыдущих значений ряда. Следовательно, на основе одних лишь наблюдений за системой возможно предсказать ее поведение в будущем. Более того, при прогнозировании не делается различий между природой системы. Это может быть курс доллара, сейсмозапись или динамика солнечной активности. При этом оказывается, что методы теории вероятности зачастую работают хуже, чем методы теории динамических систем. При каких условиях могут быть динамически смоделированы некоторые временные ряды и успешно осуществлено их прогнозирование? Для ответа на этот вопрос проследим за изменением наблюдаемой со временем. В результате получим некоторую функцию. Если измерения производились в фиксированные моменты времени, то эта функция примет дискретный ряд значений. Когда исследуемая система - детерминированная (или динамическая, т. е. описывается конечным набором обыкновенных дифференциальных уравнений), то наблюдаемая всегда будет функцией от ее фазовой точки. Однако, как правило, заранее неизвестно, возможно ли описать данный процесс динамически. Тем не менее в рамках современной теории размерности и теории динамических систем можно отличить шум (случайный процесс) от детерминированного поведения и тем самым установить размерность рассматриваемого явления.
Таким образом, становится возможным не только описывать поведение исследуемого временного ряда, но и прогнозировать его динамику. Следовательно, по единственной наблюдаемой удается восстановить многие свойства динамической системы и получить представление о ее свойствах.
Динамическое моделирование финансовых временных рядов. В последнее время все большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории динамических систем. Это достаточно новая область, которая представляет собой популярный и активно развивающийся раздел математических методов экономики. Развитие теории в этом направлении дает возможность выявить существо глубинных экономических процессов, зачастую скрытых и неявных, и позволяет перевести субъективные и интуитивные суждения на строгий язык цифр и фактов. Кроме того, анализ экономических временных рядов предоставляет возможность с определенной степенью точности заглянуть в будущее, т. е. осуществить прогнозирование развития ситуации. При этом отдельно встает вопрос о точности такого прогноза.
Финансовый временной ряд — это последовательность, описывающая поведение определенного рыночного процесса, например, курс ценных бумаг или соотношение валют. В ряде работ был проведен анализ некоторых финансовых рядов и показано, что многие из них имеют конечную емкость. Таким образом, эти ряды могут быть описаны обыкновенным дифференциальным уравнением конечного порядка. Вообще говоря, при некоторых условиях это уравнение дает возможность прогнозировать динамику временного ряда, однако для этого сначала нужно восстановить его правую часть. В некоторых работах проводились оценки длины временного ряда, необходимой для такого восстановления. Эти оценки показывают, что в большинстве случаев имеющихся данных недостаточно для определения правой части уравнения.
Для решения этой проблемы можно предложить два интересных недавно разработанных подхода. Первый подход связан с использованием данных о процессе формирования цен финансовых активов. Эти данные, в основном, сконцентрированы в самостоятельном разделе экономической теории, называемом теорией финансов. Использование моделей этой теории может оказаться полезным при определении вида уравнений с точностью до конечного числа параметров. В свою очередь, определение параметров может быть произведено на основании оптимального приближения решения этих уравнений к имеющимся данным. При этом получается, что длина временных рядов, требуемая для определения параметров, может быть на порядок меньше, чем для решения исходной непараметрической задачи.
Далее, эмпирические наблюдения за финансовыми временными рядами позволяют подметить следующие особенности:
зачастую курс акций колеблется в ограниченном интервале между так называемыми уровнями поддержки и сопротивления. Такое поведение иногда называют гомодинамическим, то есть соответствующим практически неизменному закону движения;
время от времени курс акций «пробивает» эти уровни и после переходного процесса выходит на другой гомодинамический участок. Интерпретация этих особенностей с точки зрения теории динамических систем составляет суть второго подхода.
Развитие этих подходов показывает принципиальную возможность провести реконструкцию правой части дифференциального уравнения на основе общих соображений без использования длинных рядов наблюдений. Однако для их разработки используются достаточно жесткие предпосылки. Тем не менее ряд обобщений, используемых в нелинейной динамике, позволяет перейти к практическому прогнозированию на финансовых рынках, причем в некоторых случаях такое прогнозирование может быть достаточно просто реализовано. Например, гипотеза о гомодинамичности траекторий имеет под собой реальную почву для многих финансовых рядов.
Здесь представлены лишь два (достаточно эффективных) подхода; естественно, решение проблемы описания финансовых рядов ими не исчерпывается. Например, среди зарубежных исследователей весьма популярным подходом для анализа финансовых временных рядов является идея использования концепции так называемой авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH, авторегрессионность — зависимость от предшествующих значений ряда, условность — дисперсия рассчитывается при условии, что предшествующие значения ряда известны, гетероскедастичность — изменение дисперсии во времени). Она состоит в том, что изменение дисперсии определяется не внешними факторами, а внутренними параметрами и предысторией системы, в частности, реализованными в предыдущие моменты времени значениями временного ряда. Проверка концепции ARCH показала ее богатые возможности при объяснении статистических особенностей временных рядов, возникающих на валютных и иных финансовых рынках82.
Фрактальные множества. Фракталы исследуются в нелинейной физике, которая принадлежит к одной из научных областей синергетики и теории неравновесных систем. Фракталами обычно называют множества, которые обладают масштабной инвариантностью, т. е. в любом масштабе они выглядят практически одинаково. Самый известный пример фрактала — множество Кантора на прямой. Термин «фрактал» был введен известным математиком Бенуа Мандельбротом и означал множество, размерность которого не совпадала с обычной.
Теория фракталов долгое время не находила широкого применения, пока не было обнаружено большое число задач, где фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. Например, в турбулентности теория фракталов теснейшим образом связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова. Если рассмотреть скорость турбулентного потока как функцию пространственных переменных и времени, то она будет представлять собой фрактал того же типа, что и броуновская кривая.
В теории динамических систем фрактальные множества занимают особое место, поскольку решения большинства нелинейных задач представляют собой фрактал. Дело в том, что математическим образом хаотических колебаний в диссипативных системах является аттрактор, который уже не обладает такой же гладкой структурой, как, например, тор. Геометрическое строение странных аттракторов более сложное. В частности, они могут обладать геометрической (масштабной) инвариантностью, т. е., подобно фрактальному множеству, их структура повторяется при последовательном увеличении масштаба. Это свойство странных аттракторов иногда позволяет описывать их аналогично тому, как описываются фракталы.
У фрактальной теории много точек соприкосновения с методом ренорм–группы и теорией фазовых переходов. В финансовой математике многое можно описать, используя фрактальный подход. Неожиданно важные приложения теории фрактальных множеств были выявлены в достаточно новых областях современной науки — теоретической биологии и математической медицине. Здесь многое удалось понять, опираясь на масштабную инвариантность. Наконец, фрактальные множества интересны с точки зрения создания моста между математикой и искусством.
Основной геометрической характеристикой фракталов является их размерность, которая указывает на близость таких множеств к регулярным объектам и позволяет определить число независимых переменных, однозначно их описывающих. Неожиданным обстоятельством является то, что фрактальные структуры встречаются в природе и рождаются в физических экспериментах. Один из таких экспериментов — результат осаждения на электроде ионов металла, диффундирующих в электролитическом растворе.
В реальной ситуации «зародыш фрактала» будет двигаться по какомулибо закону. Как изменится структура растущего фрактального множества в этом случае? Развитие этой задачи даст возможность ответить на вопросы, связанные со структурообразованием в неравновесных системах и создать условия, в которых будут формироваться кластеры с заданными свойствами и размерностью83.