- •Розділ 2. Методи оцінки параметрів розподілів
- •2.1. Предмет і задачі математичної статистики
- •2.2. Варіаційні ряди та їх характеристики
- •2.2.1. Варіаційні ряди
- •2.2.2. Емпірична функція розподілу
- •2.2.3. Графічне представлення варіаційних рядів
- •2.3. Числові характеристики статистичних розподілів
- •2.3.1. Середні величини
- •2.3.2. Показники варіації
- •2.3.3. Моменти розподілу. Характеристики форми розподілу
- •Алгоритм у Mathcad
- •2.4. Статистичні оцінки параметрів розподілів
- •2.4.1. Поняття статистичної оцінки параметрів
- •2.4.2. Точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії
- •2.4.3. Методи знаходження оцінок параметрів розподілу
- •2.4.4. Метод моментів
- •2.4.5. Метод максимальної правдоподібності
- •2.4.6. Метод найменших квадратів
- •2.4.7. Метод мінімуму χ2
- •2.5. Методи інтервальної оцінки параметрів розподілів
- •2.5.1. Надійні інтервали
- •2.5.2. Надійний інтервал для математичного сподівання нормального розподілу a при відомому σ
- •2.5.3. Надійний інтервал для математичного сподівання нормального розподілу a при невідомому σ
- •2.5.4. Надійний інтервал для генерального середнього
- •2.5.5. Надійний інтервал для дисперсії нормального розподілу при відомому математичному сподіванні
- •2.5.6. Надійний інтервал для дисперсії нормального розподілу при невідомому математичному сподіванні
- •2.5.7. Оцінка ймовірності біноміального розподілу за частотою
- •Оцінка математичного сподівання
- •2.5.9. Оцінка параметрів гамма-розподілу
- •2.5.10. Інтервальна оцінка параметра розподілу Пуассона
- •2.5.11. Надійний інтервал для різниці середніх нормальних сукупностей при рівних дисперсіях
- •2.5.12. Надійний інтервал для різниці середніх нормальних сукупностей при різних дисперсіях
- •2.5.13. Надійний інтервал для відношення дисперсій нормальних сукупностей
2.4.2. Точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії
Нехай – деяка статистична оцінка, одержана по вибірці , і яка оцінює невідомий параметр розподілу генеральної сукупності. Якщо оцінка визначається одним числом , то її називають точковою; якщо обчислюються дві величини і такі, що , то оцінку для називають інтервальною, а величини , – границями інтервалу.
Нехай випадкова величина X (генеральна сукупність) має математичне сподівання і дисперсію Обидва ці параметри невідомі. Над X проводяться n спостережень і добувається вибірка . Необхідно знайти незміщені і слушні оцінки параметрів і .
За оцінку математичного сподівання природно прийняти вибіркове середнє :
. (2.25)
Ця оцінка є слушною: згідно з законом великих чисел збігається за ймовірністю до . Оцінка є також і незсуненою, оскільки:
У випадку нормального розподілу з параметрами оцінка , як було сказано раніше, також і ефективна.
Дійсно ,
Для обчислення ефективності визначимо ще величину для . Покладаючи
знаходимо
За формулою для ефективності оцінки знаходимо
Отже, оцінка математичного сподівання нормального розподілу є ефективною.
Визначимо тепер дисперсію За оцінку візьмемо вибіркову дисперсію:
(2.26)
Ця оцінка є слушною. Щоб це показати, приведемо її до вигляду:
,
де .
Оскільки згідно з законом великих чисел
,
,
Що й означає слушність оцінки . Знайдемо математичне сподівання :
Тут використаний той факт, що
Таким чином оцінка є зміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Щоб ліквідувати зсуненність, потрібно ввести поправку . Одержуємо:
(2.27)
Цю оцінку називають виправленою вибірковою дисперсією. Вона є незсуненою і слушною. Величину називають поправкою Бесселя. При малих n ця поправка значно відрізняється від одиниці. При збільшенні n вона швидко прямує до одиниці та при практично дорівнює одиниці.
У загальному випадку оцінка дисперсії не є ефективною. Для нормального розподілу ефективність її дорівнює ; таким чином, при вона асимптотично ефективна.
2.4.3. Методи знаходження оцінок параметрів розподілу
Припускається, що невідома функція розподілу належить деякому сімейству розподілів , яке залежить від деякого параметра (параметр , можливо, векторний Так, наприклад, сімейство нормальних розподілів залежить від двох параметрів – математичного сподівання і дисперсії. Потрібно за результатами спостережень (значенням вибірки) оцінити параметр (або декілька параметрів) розподілу.
Для побудови оцінок використовуються статистики функції від вибіркових значень. Розповсюдженими статистиками є:
вибіркова середня ;
вибіркова дисперсія ;
вибірковий k-й початковий момент ;
вибірковий k-й центральний момент ;
Оскільки результати спостережень випадкові, будь-яка статистика представляє собою випадкову величину. Для того, щоб статистика могла служити оцінкою даного параметра , необхідно, щоб розподіл цієї статистики був зосереджений у достатній близькості від невідомого значення параметра , тобто, щоб імовірність великих відхилень цієї статистики від була достатньо мала. Бажано також, щоб точність оцінювання зростала при збільшенні об’єму вибірки. Для цього оцінка повинна мати вказані раніше властивості незсуненності, слушності і ефективності.
Розглянемо основні методи знаходження оцінок.