2.5.9. Оцінка параметрів гамма-розподілу

Оцінка параметра λ при відомому β. Математичне сподівання і дисперсія цього розподілу відповідно дорівнюють

Якщо то гамма-розподіл співпадає з експоненціальним, оцінки для якого розглянуті у попередньому розділі. Також, як і у випадку експоненціального розподілу, тут замість параметра спочатку оцінюється обернений параметр математичне сподівання.

Статистична модель. Вибірка одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами і . Треба побудувати надійний інтервал для параметра . Розглянемо спочатку варіант, коли параметр відомий.

Надійний інтервал будується на основі того факту, що випадкова величина , де точкова оцінка параметра θ, також має гамма-розподіл з параметрами , тобто не залежить від невідомого параметра θ.

Алгоритм побудови надійного інтервалу для

1. Задаємо початкові дані моделі:

2. Обчислюються точкові оцінки середнього арифметичного m і параметра

.

3. Задається рівень значущості і визначаються квантилі гамма-розподілу , відповідно порядків , де – функція, обернена до функції гамма-розподілу з параметрами , . У Mathcad квантилі і обчислюються за функцією qgamma( ).

4. Обчислюються границі надійного інтервалу для параметра і визначається його надійний інтервал

5. Обчислюються границі надійного інтервалу для параметра і визначається його надійний інтервал

Приклад 2.11. Вибірка об’єму одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами Припускаючи, що параметр відомий – , а точне значення параметра невідоме, визначимо надійний інтервал для математичного сподівання і параметра досліджуваної генеральної сукупності при рівні значущості

Розв’язання. За допомогою функції Mathcad rgamma(n, a) змоделюємо вибірку об’єму у припущенні, що генеральна сукупність має гамма-розподіл з параметром , де . Знаходячи точкову оцінку параметра і визначаючи відповідні квантилі гамма-розподілу, знаходимо надійні інтервали для параметрів .

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Моделювання вибірки із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами

_{Фрагмент вибірки}

Вибіркове середнє і дисперсія

Точкові оцінки параметрів

Рівень значущості і відповідні квантилі гамма-розподілу

Границі надійного інтервалу для параметра

Надійний інтервал для параметра

Границі надійного інтервалу для параметра

Надійний інтервал для параметра

_◄

Оцінка параметра β при відомому λ

Статистична модель. Вибірка одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами і . Припускається, що параметр відомий, а невідомий. Треба побудувати надійний інтервал для параметра .

Надійний інтервал будується на основі того факту, що випадкова величина де точкова оцінка параметра , також має гамма-розподіл з параметрами , тобто не залежить від невідомого параметра .

Алгоритм побудови надійного інтервалу для

1. Обчислюється точкова оцінка .

2. Задається рівень значущості .

3. Визначаються квантилі , де – функція, обернена до функції гамма-розподілу з параметрами і .

4. Обчислюється надійний інтервал з границями:

.

Приклад 2.12. Вибірка об’єму одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами Припускаючи, що параметр відомий – , а точне значення параметра невідоме, визначимо надійний інтервал для параметра при рівні значущості

Розв’язання. Моделюємо вибірку об’єму у припущенні, що генеральна сукупність має гамма-розподіл з параметром , де . Знаходячи точкові оцінки середнього арифметичного і параметра визначаємо відповідні квантилі гамма-розподілу і знаходимо надійний інтервал для параметра

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Моделювання вибірки із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами

_{Фрагмент вибірки}

Вибіркове середнє і дисперсія

Точкові оцінки параметрів

Рівень значущості і відповідні квантилі гамма-розподілу

Надійний інтервал для параметра

_◄

Сумісна оцінка параметрів β і λ

Статистична модель. Вибірка одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметрами і . Припускається, що параметри і невідомі. Треба за даними вибірки оцінити невідомі параметри

Алгоритм побудови надійного інтервалу для

Якщо невідомі обидва параметри і , то простого методу одержання їх інтервальних оцінок не існує. Оскільки для даного розподілу

і ,

на основі значень вибіркового середнього і вибіркової дисперсії можна одержати оцінки цих параметрів у вигляді

Згідно з теорією визначення точкових оцінок параметрів розподілів за методом моментів для гамма-розподілу можна також скористатись співвідношеннями

.

Із цих співвідношень для параметрів знаходимо такі оцінки

Приклад 2.13. Вибірка об’єму одержана із генеральної сукупності, яка має гамма-розподіл з параметром (вибірку генеруємо за допомогою функції ). Припускаючи, що параметри невідомі, визначимо надійні інтервали для цих параметрів при рівні значущості

Розв’язання. Моделюємо вибірку об’єму у припущенні, що генеральна сукупність має гамма-розподіл з параметром Знаходячи точкові оцінки середнього арифметичного параметрів і відповідні квантилі гамма-розподілу, знаходимо надійні інтервали для параметрів .

_{Алгоритм у Mathcad}

Початкові дані

_{Моделювання вибірки}

_{Фрагмент вибірки}

_{Вибірковi характеристики гамма-розподілу: середнє арифметичне, середнє квадратичне відхилення і другий момент}

Точкові оцінки параметрів , визначені на основі вибіркового середнього і вибіркового середнього квадратичного відхилення

Точкові оцінки параметрів , визначені за методом моментів на основі середнього арифметичного і вибіркового другого моменту

Як показують результати, оцінки параметрів, одержані за цими методами, співпадають. ◄