2.2.2. Емпірична функція розподілу

 Емпіричною функцією розподілу (статистичною функцією розподілу, функцією розподілу вибірки) називається функція , яка визначає для кожного значення x відносну частоту події . Отже, за означенням:

, (2.2)

де – кількість варіант, менших ; – об’єм вибірки.

Іншими словами, для даного емпірична функція розподілу представляє собою накопичену частку. Зауважимо, що при будь-якому значенні величини , а отже і є випадковими.

Якщо вибірка представлена варіаційним рядом, то

. (2.3)

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки , функцію розподілу генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу. Відмінність між ними полягає у тому, що визначає ймовірність події , а – частоту цієї події.

Емпірична функція розподілу має усі властивості, що і функція розподілу ймовірностей :

1. Значення функції належать відрізку [0,1];

2. – неспадна функція;

3. Якщо – найменша варіанта, то = 0 при ;

4. Якщо – найбільша варіанта, то = 1 при ;

Згідно з законом великих чисел, функція збігається за ймовірністю до висхідного розподілу . Це означає, що при великих числа і мало відрізняються одне від одного у тому смислі, що

при будь-якому .

Більш того має місце теорема Глівенка: емпірична функція розподілу рівномірно по з імовірністю 1 збігається при до теоретичного розподілу :

.

Розглянемо тепер задачу статистичного аналізу щільності розподілу неперервно розподіленої випадкової величини. Така задача в практичних застосуваннях зустрічається частіше, ніж розглянута задача статистичного аналізу функції розподілу.

Нехай – повторна вибірка, кожний елемент якої має щільність розподілу – відповідний варіаційний ряд з розмахом варіювання Розіб’ємо інтервал на інтервалів де Нехай кількість елементів варіаційного ряду, що попадають у і-й інтервал .

 Статистика

(2.4)

називається емпіричною щільністю розподілу.

2.2.3. Графічне представлення варіаційних рядів

Дискретний варіаційний ряд графічно представляється у вигляді полігона частот, а інтервальний – у вигляді гістограми. Функція розподілу представляється кумулятивною кривою.

 Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .

 Гістограмою частот (відносних частот) називається ступінчаста фігура, яка зображає графік емпіричної щільності розподілу. Гістограма складається із прямокутників, основами яких є часткові інтервали, довжиною , а висоти дорівнюють відношенню або , де частоти, відносні частоти емпіричного розподілу вибірки. Площа гістограми частот дорівнює об’єму вибірки , площа гістограми відносних частот дорівнює 1, оскільки

.

При великих значення близькі до ймовірностей або якщо має щільність розподілу . Таким чином, гістограма дає наближений графік щільності розподілу неперервної ознаки. Розгляд графіків розподілу варіаційних рядів може дати деяке попереднє уявлення про невідомий закон розподілу випадкової величини. Проте гістограма все ж таки є лише реалізацією статистичної оцінки розподілу Для того, щоб більш достовірно судити про розподіл досліджуваної вибірки, слід застосувати методи перевірки статистичних гіпотез відносно

 Графік емпіричної функції розподілу (кумулятивна крива) – це крива накопичених частот. Вона представляє собою ламану лінію, яка з’єднує точки графіка , де – накопичені частоти.